Springen naar inhoud

priemtweelingen


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 27 oktober 2004 - 18:14

Dit lees ik op wikipedia:

Priemtweelingen zijn priemgetallen die voorkomen in de vorm p en p+2. Voorbeelden hiervan zijn bijvoorbeeld 5 en 7, en 17 en 19. Men vermoedt dat er oneindig veel priemtweelingen zijn. Hier is echter (nog) geen bewijs voor.


Maar dat bewijs is toch heel simpel...

Stel dat p1, p2, p3, pn de enige priemgetalen zijn.
Volgens Euclides zijn er oneindig veel priemgetallen omdat p1*p2*p3*...pn +1 ook een priemgetal is.
Maar p1*p2*p3*...pn -1 is toch ook een priemgetal?
Het verschil tussen p1*p2*p3*...pn +1 en p1*p2*p3*...pn -1 is 2, en dus bestaan er ook oneindig veel priemtweelingen.

Voorbeeld:
2*3*5*7-1 = 209 en 2*3*5*7+1 = 211
209 en 211 zijn priemtweeling.
Enz. met telkens 1 priemgetal extra...
2*3*5*7*11-1 = 2309 en 2*3*5*7*11+1 = 2311
2309 en 2311 zijn priemtweeling.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Mafkees

    Mafkees


  • >250 berichten
  • 306 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 oktober 2004 - 18:30

Maar p1*p2*p3*...pn -1 is toch ook een priemgetal?


Dat is dus maar de vraag of dat altijd geldig is.

#3


  • Gast

Geplaatst op 27 oktober 2004 - 18:55

Volgens Euclides zijn er oneindig veel priemgetallen omdat p1*p2*p3*...pn +1 ook een priemgetal is.

En hoe bewijs je dit dan?

p1*p2*p3*... = q

Deelbaar zijn:
q
q+n*p1
q+n*p2
q+n*p3
enz.
Maar ook:
q-n*p1
q-n*p2
q-n*p3
enz.

Omdat p1 = 2 (het kleinste priemgetal)...
q-p1 = q-2 en q+p1 = q+2 <-- deelbaar.
Alle andere... p2, p3, p4... zijn groter dan p1.
q-1 en q+1 vallen dus buiten de boot en zijn priem, en natuurlijk tweeling.

#4

Quazar

    Quazar


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 27 oktober 2004 - 20:31

Volgens mij heb je gelijk.

Omdat er oneindig veel priemgetallen zijn kan je oneindig veel rijen maken van (p1*p2*p3*......*pn)-1 en (p1*p2*p3.....*pn) +1. Dus zijn er oneindig veel tweelingen.

Dat die twee rijen beide een priemgetal opleveren:
De tweede rij is bewezen door euclides om aan te tonen dat er oneindig veel priemgetallen zijn.
De eerste rij is eenvoudig op dezelfde manier aan te tonen.

Als dit nog nooit eerder bedacht is, is het een geniaal idee :wink:

#5

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 oktober 2004 - 20:45

Volgens Euclides zijn er oneindig veel priemgetallen omdat p1*p2*p3*...pn +1 ook een priemgetal is.


Je moet Euclides wel goed citeren. Hij zegt niet dat x=p1*p2*p3*...pn +1 een priemgetal is maar dat dit getal niet deelbaar is door een van de bekende priemgetallen p1, p2,..pn. Dat betekent dat er een priemgetal moet zijn dat niet bij de oorspronkelijke serie zat (maar dat is niet noodzakelijkerwijs het getal x zelf).

#6

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 oktober 2004 - 21:10

En om gelijk een voorbeeld te geven: 2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures