Springen naar inhoud

eigenwaarden en dimensie nulruimte


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 augustus 2006 - 10:01

Is het zo dat de dimensie van de nulruimte van een vierkante matrix gelijk is aan de multipliciteit van de eigenwaarde nul ? Zo ja, hoe kan dat ingezien of ge´nterpreteerd worden?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 augustus 2006 - 10:15

ik heb ondertussen zelf al ingezien dat het vrij triviaal is: de nulruimte is gewoon de verzameling van alle oplossingen van LaTeX voor LaTeX

alhoewel is dit wel een sluitende verklaring aangezien de multipliciteit van een eigenwaarde groter kan zijn de dimensie van zijn eigenruimte?

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 augustus 2006 - 12:04

Heb je het nu over de algebra´sche of meetkundige multipliciteit? Deze kunnen verschillend zijn. Er geldt inderdaad am >= mm.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 augustus 2006 - 13:36

ik heb het over de algebraische multipliciteit van de eigenwaarde LaTeX ,

dus als ik het ondertussen goed begrepen heb, dan geldt

"algebraische multipliciteit van de eigenwaarde 0 LaTeX dimensie van de nulruimte van de matrix" wel, maar

"algebraische multipliciteit van de eigenwaarde 0 LaTeX dimensie van de nulruimte van de matrix" algemeen niet

ik vermoed dat dit komt omdat de nulruimte van een matrix A gelijk is aan de eigenruimte horende bij de eigenwaarde nul? (aangezien een matrix inverteerbaar is als nul geen eigenwaarde is of als hij van volle rang is)

ps: de term meetkundige multipliciteit ken ik niet, ik veronderstel dat dat neerkomt op de dimensie van de eigenruimte?

#5

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 augustus 2006 - 13:52

ik heb eventueel volgende voor u:

Geplaatste afbeelding

#6

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 augustus 2006 - 14:24

Definitie :

De geometrische of meetkundige (je mag kiezen) multipliciteit van een eigenwaardeLaTeX van A is de dimensie van de deelruimte der vectoren v die voldoen aan LaTeX

Je kan bewijzen (en dat heeft Bert F hierboven gepost) dat de algebra´sche groter dan of gelijk aan de geometrische multipliciteit is.

Het is niet zo dat er altijd gelijkheid is :

LaTeX

De karakteristieke vergelijking is LaTeX en dus is nul een eigenwaarde met algebra´sche multipliciteit twee. De geometrische multipliciteit van nul is echter 1.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 augustus 2006 - 14:37

Als aanvulling op hierboven, die deelruimte waarvan de dimensie de meetkundige multipliciteit is heet precies de eigenruimte horende bij die eigenwaarde.

Dit hangt trouwens nauw samen met de diagonaliseerbaarheid van de matrix, daarvoor moet voor elke eigenwaarde wÚl gelden dat mm = am, omdat je voor een nxn-matrix precies n lineair onafhankelijke eigenvectoren nodig hebt,.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 augustus 2006 - 19:33

ok heb dit alles begrepen ondertussen, wederom bedankt allemaal !

Dit hangt trouwens nauw samen met de diagonaliseerbaarheid van de matrix, daarvoor moet voor elke eigenwaarde wÚl gelden dat mm = am, omdat je voor een nxn-matrix precies n lineair onafhankelijke eigenvectoren nodig hebt,.


hierover gaat echter mijn volgende vraag:

Ik heb gegeven: "Als AP=PD met D diagonaal, dan moeten de niet-nul kolommen van P eigenvectoren zijn van A." Ik zie dit ook makkelijk in, dat is niet het probleem.

Wat ik me nu afvraag is dat als P geen nul kolommen heeft, kan ik dan besluiten dat A diagonaliseerbaar is? Of met andere woorden kan ik dan besluiten dat P van volle rang is?

#9

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 augustus 2006 - 19:52

Nee.


Neem als tegenvoorbeeld:
LaTeX

LaTeX

LaTeX

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 augustus 2006 - 22:40

Zoals ik al eerder aangaf moet je voor diagonaliseerbaarheid voldoende lineair onafhankelijke eigenvectoren hebben, en in het voorbeeld van evilbu hierboven zijn ze allebei verschillend van de nulvector, maar wel lineair afhankelijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures