Springen naar inhoud

Een limiet berekenen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 09 augustus 2006 - 12:25

Ik heb problemen met LaTeX
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 augustus 2006 - 12:47

Ik heb problemen met LaTeX

Deze limiet bestaat niet.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 augustus 2006 - 13:17

Misschien even duiden waarom niet. Als je in 1/x de limiet naar 0 neemt, dan gaat die 1/x in absolute waarde heel groot worden (steeds groter). Vermits de cosinus periodisch is zal de cosinus van zo'n variërende hoek ook blijven schommelen tussen -1 en 1, het convergeert niet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 augustus 2006 - 15:52

Criterium van een limiet :

een functieLaTeX heeft in een punt a een limiet LaTeX als en slechts als voor elke rijLaTeX zodat LaTeX enLaTeX geldt :
LaTeX


De rij LaTeX levert LaTeX

De rij LaTeX levertLaTeX

Moest de gegeven functie door kotje een limiet L hebben zou die dus zowel 1 als -1 moeten zijn. Contradictie. De limiet bestaat dus niet.


Ziezo, een rigoreus bewijs dat de limiet niet bestaat. En inderdaad : een poging om eens TD! het laatste woord te ontnemen :) :wink: .

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 augustus 2006 - 16:04

Ziezo, een rigoreus bewijs dat de limiet niet bestaat.  En inderdaad : een poging om eens TD! het laatste woord te ontnemen  :)  :wink: .

:)

Ik vond mijn "bewijs" al een grote verbetering ten opzichte van het eerste "bewijs" 8)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 09 augustus 2006 - 16:38

Ik heb problemen met LaTeX


Is de vraag: Bereken de limiet? Of bewijs je bewering?
Kortom: hoe moet je deze opgave aanpakken?

#7

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 augustus 2006 - 16:43

Er was geen vraag. Kotje zei dat er problemen mee waren. Misschien wou hij of zij alleen dat maar even zeggen?

... maar "common sense" deed ons vermoeden dat de vraag was : is er een limiet, indien ja welke, en bewijs dat.

#8

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 09 augustus 2006 - 17:22

Moest de gegeven functie door kotje een limiet L hebben zou die dus zowel 1 als -1 moeten zijn. Contradictie. De limiet bestaat dus niet.  


Ziezo, een rigoreus bewijs dat de limiet niet bestaat. En inderdaad : een poging om eens TD! het laatste woord te ontnemen   .
_________________
Als ik het goed begrijp zou dus LaTeX

 zijn.

Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#9

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 augustus 2006 - 17:24

Verrevan,

laat ons om dat aan te tonen nog een derde rij maken die naar nul convergeert:

LaTeX

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 augustus 2006 - 17:26

Als ik het goed begrijp zou dus LaTeX

 zijn.

Nee, het is niet zo dat -1 en 1 de enige mogelijkheden waren.
In feite neemt cos(x) alle waarden in het interval [-1,1] wanneer je zijn argument in absolute waarde naar oneindig laat gaan.
De limiet bestaat in het geval met absolute waarden dus nog steeds niet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Rudeoffline

    Rudeoffline


  • >250 berichten
  • 624 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 augustus 2006 - 17:27

Je kunt in veel van zulke gevallen ook de Taylorreeks uitrekenen. Voor sin(x)/x krijg je dan 1+O(x^2) en die limiet is dus 1. Voor cos(x)/x krijg je 1/x + O(x) en die limiet bestaat dus niet.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 augustus 2006 - 17:31

Voor cos(x)/x krijg je 1/x + O(x) en die limiet bestaat dus niet.

Wat bedoel je hiermee? Want cos(x)/x is toch niet hetzelfde als cos(1/x)?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 augustus 2006 - 17:34

http://upload.wikime...plot.svg/800px-


Deze figuur zou ook op intuďtieve wijze je moeten doen inzien dat die limiet der absolute waarde niet 1 kan zijn, je ziet toch zelf dat er maar blijven nulpunten zich herhalen? (en als een functie ergens een nulpunt heeft, heeft zijn absolute waarde dat uiteraard ook daar)


Wat wel correct is, is deze uitspraak

LaTeX bestaat niet maar
LaTeX

#14

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 augustus 2006 - 17:44

Je kunt in veel van zulke gevallen ook de Taylorreeks uitrekenen. Voor sin(x)/x krijg je dan 1+O(x^2) en die limiet is dus 1. Voor cos(x)/x krijg je 1/x + O(x) en die limiet bestaat dus niet.


Oh nee!
Daar zou ik mee oppassen hoor, taylorreeksen zijn al niet gratuit rond een punt dat een omgeving van oneindige afleidbaarheid rond zich heeft.
Hier is je functie niet eens gedefinieerd in de oorsprong!

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 augustus 2006 - 17:48

Als de gehanteerde definitie met rijtjes wat onbekend is, kun je ook de klassieke epsilon/delta definitie gebruiken.

De negatie ervan stelt dat de limiet L van f(x) voor x naar 0 niet bestaat als je een e > 0 kan vinden, voor elke d > 0, zodat voor een x in R met |x| < d geldt dat |f(x)-L| >= e. Uiteraard moet L liggen in [-1,1] want dat is het bereik van cos(1/x). Neem x voldoende groot en oplossing van |cos(1/x)| = 1, met L minimaal -1 en maximaal 1. Dan heb je als uiterste gevallen |-1-L| en |1-L| waarbij één van de twee groter dan of gelijk aan 1 is, neem e = 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures