\(\lim_{x\rightarrow 0}\cos{\frac{1}{x}}\)
Laatste berichten
-
23:58
speciale rel. theorie 4
-
22:24
Ervaringen met "herontdekkingen" 3
-
20:37
Casus uit de praktijk: positief test THC 16
-
17:43
Vreemde stank in huis 11
-
16:38
3 vragen over mijn rooskleurige r.berekening H2netGekoppeldeHBrflowbatterij.
-
10:05
Interpretatie reactie-energie 3
-
17 apr
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
16 apr
vB 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Rotatie van het heelal 22
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
-
05 apr
afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie 490
-
05 apr
Ongepaste reclame 179
-
04 apr
Gegevens wissen mobiel 6
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Een limiet berekenen
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 3.330
Een limiet berekenen
Ik heb problemen met
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 7.068
Re: Een limiet berekenen
Deze limiet bestaat niet.Ik heb problemen met\(\lim_{x\rightarrow 0}\cos{\frac{1}{x}}\)
-
- Berichten: 24.578
Re: Een limiet berekenen
Misschien even duiden waarom niet. Als je in 1/x de limiet naar 0 neemt, dan gaat die 1/x in absolute waarde heel groot worden (steeds groter). Vermits de cosinus periodisch is zal de cosinus van zo'n variërende hoek ook blijven schommelen tussen -1 en 1, het convergeert niet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 792
Re: Een limiet berekenen
Criterium van een limiet :
een functie
Ziezo, een rigoreus bewijs dat de limiet niet bestaat. En inderdaad : een poging om eens TD! het laatste woord te ontnemen
.
een functie
\( f\)
heeft in een punt a een limiet \(L\)
als en slechts als voor elke rij\( (x_n) \)
zodat \(x_n\neq a \forall n \)
en\(\lim_{\nrightarrow\infty}x_n=a\)
geldt :\( \lim_{\nrightarrow \infty} f(x_n)=L\)
De rij \(x_n=\frac{1}{2 n \pi } \)
levert \(\lim_{\nrightarrow \infty} \cos(\frac{1}{x_n})=1\)
De rij \(x_n=\frac{1}{(2 n+1) \pi }\)
levert\( \lim_{\nrightarrow \infty} \cos(\frac{1}{x_n})=-1\)
Moest de gegeven functie door kotje een limiet L hebben zou die dus zowel 1 als -1 moeten zijn. Contradictie. De limiet bestaat dus niet.Ziezo, een rigoreus bewijs dat de limiet niet bestaat. En inderdaad : een poging om eens TD! het laatste woord te ontnemen
.-
- Berichten: 24.578
Re: Een limiet berekenen
Ziezo, een rigoreus bewijs dat de limiet niet bestaat. En inderdaad : een poging om eens TD! het laatste woord te ontnemen.
. Ik vond mijn "bewijs" al een grote verbetering ten opzichte van het eerste "bewijs" 8)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Een limiet berekenen
Ik heb problemen met\(\lim_{x\rightarrow 0}\cos{\frac{1}{x}}\)
Is de vraag: Bereken de limiet? Of bewijs je bewering?
Kortom: hoe moet je deze opgave aanpakken?
-
- Berichten: 792
Re: Een limiet berekenen
Er was geen vraag. Kotje zei dat er problemen mee waren. Misschien wou hij of zij alleen dat maar even zeggen?
... maar "common sense" deed ons vermoeden dat de vraag was : is er een limiet, indien ja welke, en bewijs dat.
... maar "common sense" deed ons vermoeden dat de vraag was : is er een limiet, indien ja welke, en bewijs dat.
-
- Berichten: 3.330
Re: Een limiet berekenen
Moest de gegeven functie door kotje een limiet L hebben zou die dus zowel 1 als -1 moeten zijn. Contradictie. De limiet bestaat dus niet.
Ziezo, een rigoreus bewijs dat de limiet niet bestaat. En inderdaad : een poging om eens TD! het laatste woord te ontnemen .
_________________
Als ik het goed begrijp zou dus\(\lim_{x\rightarrow 0}{\vert\cos\frac{1}{x}\vert}=1\)zijn.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 792
Re: Een limiet berekenen
Verrevan,
laat ons om dat aan te tonen nog een derde rij maken die naar nul convergeert:
laat ons om dat aan te tonen nog een derde rij maken die naar nul convergeert:
\(x_{n}=\frac{2}{(2 n +1)\pi}\)
-
- Berichten: 24.578
Re: Een limiet berekenen
Nee, het is niet zo dat -1 en 1 de enige mogelijkheden waren.Als ik het goed begrijp zou dus\(\lim_{x\rightarrow 0}{\vert\cos\frac{1}{x}\vert}=1\)zijn.
In feite neemt cos(x) alle waarden in het interval [-1,1] wanneer je zijn argument in absolute waarde naar oneindig laat gaan.
De limiet bestaat in het geval met absolute waarden dus nog steeds niet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 624
Re: Een limiet berekenen
Je kunt in veel van zulke gevallen ook de Taylorreeks uitrekenen. Voor sin(x)/x krijg je dan 1+O(x^2) en die limiet is dus 1. Voor cos(x)/x krijg je 1/x + O(x) en die limiet bestaat dus niet.
-
- Berichten: 24.578
Re: Een limiet berekenen
Wat bedoel je hiermee? Want cos(x)/x is toch niet hetzelfde als cos(1/x)?Voor cos(x)/x krijg je 1/x + O(x) en die limiet bestaat dus niet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 792
Re: Een limiet berekenen
Deze figuur zou ook op intuïtieve wijze je moeten doen inzien dat die limiet der absolute waarde niet 1 kan zijn, je ziet toch zelf dat er maar blijven nulpunten zich herhalen? (en als een functie ergens een nulpunt heeft, heeft zijn absolute waarde dat uiteraard ook daar)
Wat wel correct is, is deze uitspraak
\(\lim_{x\rightarrow \infty} e^{x i }\)
bestaat niet maar \(\lim_{x\rightarrow \infty} |e^{x i } |=1\)
-
- Berichten: 792
Re: Een limiet berekenen
Je kunt in veel van zulke gevallen ook de Taylorreeks uitrekenen. Voor sin(x)/x krijg je dan 1+O(x^2) en die limiet is dus 1. Voor cos(x)/x krijg je 1/x + O(x) en die limiet bestaat dus niet.
Oh nee!
Daar zou ik mee oppassen hoor, taylorreeksen zijn al niet gratuit rond een punt dat een omgeving van oneindige afleidbaarheid rond zich heeft.
Hier is je functie niet eens gedefinieerd in de oorsprong!
-
- Berichten: 24.578
Re: Een limiet berekenen
Als de gehanteerde definitie met rijtjes wat onbekend is, kun je ook de klassieke epsilon/delta definitie gebruiken.
De negatie ervan stelt dat de limiet L van f(x) voor x naar 0 niet bestaat als je een e > 0 kan vinden, voor elke d > 0, zodat voor een x in R met |x| < d geldt dat |f(x)-L| >= e. Uiteraard moet L liggen in [-1,1] want dat is het bereik van cos(1/x). Neem x voldoende groot en oplossing van |cos(1/x)| = 1, met L minimaal -1 en maximaal 1. Dan heb je als uiterste gevallen |-1-L| en |1-L| waarbij één van de twee groter dan of gelijk aan 1 is, neem e = 1.
De negatie ervan stelt dat de limiet L van f(x) voor x naar 0 niet bestaat als je een e > 0 kan vinden, voor elke d > 0, zodat voor een x in R met |x| < d geldt dat |f(x)-L| >= e. Uiteraard moet L liggen in [-1,1] want dat is het bereik van cos(1/x). Neem x voldoende groot en oplossing van |cos(1/x)| = 1, met L minimaal -1 en maximaal 1. Dan heb je als uiterste gevallen |-1-L| en |1-L| waarbij één van de twee groter dan of gelijk aan 1 is, neem e = 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
