Springen naar inhoud

Orthogonaliteit


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2006 - 11:36

1) Elke vector in LaTeX kan ontbonden worden in een component uit LaTeX en een component uit LaTeX . Betekent dit dat LaTeX ? En bijgevolg dat LaTeX ?

Met LaTeX een deelruimte van LaTeX .

Ik vermoed van wel omdat er voor elke vector ruimte altijd een orthogonale basis beschikbaar is.

2) Heeft er iemand een idee hoe ik de vector LaTeX zou kunnen bekomen door enkel de matrix LaTeX te gebruiken (en of dit uberbaupt mogelijk is, want dit is een hersenspinsel van mezelf, het komt niet uit een oefening of zo) ?

Het is inderdaad de bedoeling de inproducten van de kolommen van een matrix in een vector te krijgen.

ps: LaTeX betekent LaTeX

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2006 - 13:52

1) Sterker nog, laat E een Euclidische ruimte zijn met W een eindigdimensionale deelruimte, dan geldt:

LaTeX

Heb je de directe som al gezien? Dit houdt in wat jij zei, plus het feit dat de doorsnede enkel de nulvector bevat.

2) Wat bedoel je met "door alleen G te gebruiken"?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2006 - 13:59

2. Ik zou zeggen, bereken eerstLaTeX
en schrijf dan achtereenvolgens in een kolommatrix de diagonaalelementen op

Maar dan ga je wel hopeloos veel inproducten ( je gaat alle inproducten uitgerekend hebben voor NIETS gedaan hebben :)

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2006 - 14:01

Ahzo, op die manier. Ach "voor niets", het is een goede oefening :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2006 - 14:03

Per keer je een element van LaTeX uitrekent, reken je het inproduct van twee kolommen uit. Een oplettende student zal dit plan direct naar de vuilbak verwijzen om tijd uit te sparen.
Ik begrijp dan ook niet zo goed waarom jij naar zoiets zou vragen in vraag 2

Wijziging : grr, ik ben weeral in Mathlinks code aan het schrijven :)

#6

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2006 - 14:31

Heb je de directe som al gezien? Dit houdt in wat jij zei, plus het feit dat de doorsnede enkel de nulvector bevat.

Neen heb ik nog niet gezien (of toch niet onder die benaming, maar ik denk gewoon 'niet'). Hoe dan ook de bevestiging dat het klopt is voldoende, het ordend mijn gedachten.

Ik begrijp dan ook niet zo goed waarom jij naar zoiets zou vragen in vraag 2

Wel als U een matrix is met orthonormale kolommen dan is LaTeX . Ik dacht deze formule uit te breiden voor een vector met orthogonale kolommen.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2006 - 14:36

Neen heb ik nog niet gezien (of toch niet onder die benaming, maar ik denk gewoon 'niet'). Hoe dan ook de bevestiging dat het klopt is voldoende, het ordend mijn gedachten.

Maakt niet uit, dan ken je het nu :)

Even duidelijker: V is een vectorruimte met deelruimten P en Q. We noemen V de directe som van P en Q, genoteerd LaTeX , als en slechts als:

LaTeX

Belangrijk gevolg is dat elke vector uit V op een unieke manier geschreven kan worden als de som van een vector uit P en uit Q.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2006 - 16:16

Even duidelijker: V is een vectorruimte met deelruimten P en Q. We noemen V de directe som van P en Q, genoteerd LaTeX

, als en slechts als:

LaTeX

Belangrijk gevolg is dat elke vector uit V op een unieke manier geschreven kan worden als de som van een vector uit P en uit Q.

Ha! De relevantie is meteen duidelijk!

Maar toch effe bekennen dat ik zelf de notatie Vectorruimte1 + Vectorruimte2 gebruikte zonder ze expliciet gedefinieerd gezien te hebben. Je bedoelt toch:
LaTeX Of equivalent: zij B en C basissen voor respectievelijk P en Q, P+Q = span{B,Q}

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 augustus 2006 - 17:08

Welja, dat is toch gebruikelijk dacht ik. Minder moeilijk geformuleerd:

LaTeX

(en je bedoelde wellicht span{B,C} ipv span{B,Q})
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2006 - 19:30

Laat E een Euclidische ruimte zijn met W een eindigdimensionale deelruimte, dan geldt:  

LaTeX


Het spijt me, maar is me wat laat opgevallen :). Ik weet eigenlijk niet wat een euclidische ruimte is. Is een Euclidische ruimte altijd een vectorruimte? Is LaTeX een Euclidische ruimte? Ik heb nog even op wikipedia gekeken, maar daar is het niet zo heel duidelijk vind ik. (Ik weet wel wat een inproductruimte is als dat helpt.)

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 augustus 2006 - 13:03

Het is gewoon een reŽle vectorruimte, uitgerust met een inwendig product - inproductruimte voor jou wellicht.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 augustus 2006 - 18:34

Nog een probleem omtrent orthogonaliteit:

Gegeven een matrix LaTeX met volgende eigenschappen: LaTeX en LaTeX . (Dus een orthogonale projectiematrix.)
Neem verder een LaTeX en LaTeX .

Geldt dan niet het volgende?
LaTeX

Ik vermoed niet dat dit juist kan zijn ... :)

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 augustus 2006 - 19:04

In de veronderstelling dat je je gegevens kloppen (of is je vraag of die mogelijk zijn?), zie ik niet direct fouten in je redenering... B is nu gewoon de eenheidsmatrix?!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 augustus 2006 - 19:16

Wel het zijn eigenlijk de gegevens van een te bewijzen stelling. Er wordt verder nog gekozen: LaTeX en LaTeX

Nu wordt er eerst aangetoond dat LaTeX . Dan wordt er aangetoond dat z in LaTeX zit en bijgevolg LaTeX de loodrechte projectie is van LaTeX op LaTeX .

Maar als klopt wat ik beweer (dat LaTeX ) dan zie ik niet goed het nut van de bewijzen die ik hier gegeven heb.

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 augustus 2006 - 19:20

Misschien kan je voor de duidelijkheid eens de volledige stelling geven, met bijbehorende gegevens (en bewijs, als dat gegeven is) - met dan je specifieke vraag/vragen erbij.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures