Totale Differentiaal

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Totale Differentiaal

Mdx+Ndy is een totale(exacte) differentiaal als
\(\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x} \)
. Dit is trouwens gemakkelijk te bewijzen.

De vraag is nu zijn er analoge voorwaarden voor Mdx+Ndy+Odz of zelfs voor functies van een willekeurig aantal onafhankelijk veranderlijken.

Dit is van belang omdat de lijnintegraal van zo'n uitdrukking onafhankelijk is van de gevolgde weg en de kringintegraal zelfs 0.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Totale Differentiaal

Analoge voorwaarden bestaan, maar worden wel wat uitgebreider.

Zie Exact differential waar de voorwaarde ook voor drie veranderlijken staat uitgewerkt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Totale Differentiaal

Bedankt in ieder geval voor de link. Ik had 3 voorwaarden verwacht voor 3 veranderlijken door het feit dat een andere volgorde van het nemen partiële afgeleiden hetzelfde resultaat oplevert. Maar dat er voor 4 veranderlijken plots 6 voorwaarden zijn had ik niet verwacht. Het klopt trouwens. Ik heb het gecontroleerd.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Totale Differentiaal

Het klopt trouwens. Ik heb het gecontroleerd.
Gelukkig maar :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: Totale Differentiaal

In het algemeen :

voor
\(u_1 dx_1+\cdots +u_n dx_n\)
is de voorwaarde voor totale differentiaal zijn :
\(\forall i,j \frac{\partial{u_i}}{\partial{x_j}}= \frac{\partial{u_j}}{\partial{x_i}}\)
Een voorzichtige teller merkt op dat dit
\(\frac{n(n-1)}{2}\)
voorwaarden zijn :wink:

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Totale Differentiaal

Zie ook deze topic van een tijd terug over ditzelfde onderwerp.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Totale Differentiaal

Ik heb even beredeneerd hoeveel voorwaarden er zijn voor N>1 variabelelen. Ik vind:
\(C_2^N=\frac{N!}{2!.(N-2)!}\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: Totale Differentiaal

Dat is hetzelfde.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Totale Differentiaal

kotje schreef:Ik heb even beredeneerd hoeveel voorwaarden er zijn voor N>1 variabelelen. Ik vind:
\(C_2^N=\frac{N!}{2!.(N-2)!}\)
Zie evilbu, immers:
\(\frac{N!}{2!\cdot(N-2)!} = \frac{N\cdot(N-1)\cdot(N-2)!}{2\cdot(N-2)!} = \frac{N\cdot(N-1)}{2}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: Totale Differentiaal

Als ik ook nog even iets mag zeggen, ik vind dat vaak wordt vergeten wat die faculteiten precies zijn.

bijvoorbeeld iets als
\(C^{1000}_{4}=\frac{1000!}{4! 996!}\)
Als ik die drie faculteiten ingeef in mijn zakrekenmachine, wel, hij zou die twee grootste niet kunnen uitrekenen.

En dat terwijl het niet hoeft! Zoals TD uitwerkt :
\(\frac{1000!}{4! 996!}=\frac{1000 999 998 997 996!}{996! 4!}=\frac{1000 999 998 997}{24} =41417124750\)
Tja :) ik moet me inhouden of ik zit weer helemaal op mijn paard, maar als je met de paplepel binnenkrijgt dat alles met zakrekenmachines of computers moet...

En voila : ondertussen ook in mijn sininister opzet geslaagd, TD het laatste woord ontnemen 8) ... of niet :wink: ?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Totale Differentiaal

Als ik ook nog even iets mag zeggen
Ja dat mag :)
En voila : ondertussen ook in mijn sininister opzet geslaagd, TD het laatste woord ontnemen  8) ... of niet  :wink: ?
Toch niet :)

In elk geval, met je opmerking "maar als je met de paplepel binnenkrijgt dat alles met zakrekenmachines of computers moet... " ben ik het grondig eens. Ik vrees dan ook voor een even enthousiaste intrede van de "GRM" in Vlaanderen zoals in Nederland... :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Re: Totale Differentiaal

Ik vrees dan ook voor een even enthousiaste intrede van de "GRM" in Vlaanderen zoals in Nederland...   :)


Ik weet niet hoe lang het geleden is dat je nog in het middelbaar gezeten hebt, maar laat me dan hier toch mijn kans grijpen om ook iets te zeggen in een topic over totale differentiaal: TE LAAT!!!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Totale Differentiaal

Dat is absoluut een spijtige zaak dan, het verwerven van wiskundig inzicht wordt zo ondergeschikt aan het kunnen werken met een rekentoestel...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer