Vorm een volkomen kwadraat en herwerk naar de vorm q²+1 voor een goniometrische substitutie:
\(\left( {4x^2 + 4x + 7} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( {\left( {2x + 1} \right)^2 + 6} \right)^{\frac{3}{2}} = \left( {6\left( {\frac{{\left( {2x + 1} \right)^2 }}{6} + 1} \right)} \right)^{\frac{3}{2}} = 6\sqrt 6 \left( {\left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 6 }}} \right)^2 + 1} \right)^{\frac{3}{2}} \)
Het probleem is nu immers herleid tot het vinden van:
\(\int {\left( {\left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 6 }}} \right)^2 + 1} \right)^{ - \frac{3}{2}} dx}\)
Waarbij je de relatie kan gebruiken:
sec²a = 1 + tan²a. Stel:
\(\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 6 }} = \tan y \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 6 \tan y - 1}}{2} \Rightarrow dx = \frac{{\sqrt 6 \sec ^2 y}}{2}dy\)
\(\int {\left( {\left( {\frac{{2x + 1}}{{\sqrt 6 }}} \right)^2 + 1} \right)^{ - \frac{3}{2}} dx} \to \int {\left( {\tan ^2 y + 1} \right)^{ - \frac{3}{2}} \frac{{\sqrt 6 \sec ^2 y}}{2}dy} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\int {\left( {\sec ^2 y} \right)^{ - \frac{3}{2}} \sec ^2 ydy} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\int {\cos ydy} \)
En die laatste integraal is natuurlijk "poepsimpel". Daarna terug substitueren.
