Springen naar inhoud

[Wiskunde] Kansen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

wordnerd

    wordnerd


  • >25 berichten
  • 47 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 november 2004 - 16:38

Opgave:

6 dozen zijn genummerd: 0,20,40,60,80,100. Elke doos bevat een aantal nieuwe CD-roms. Het nummer op elke doos komt overeen met het percentage defecte CD-roms in de doos.

Stel dat je op toevallige wijze, met gelijke kansen, een doos kiest. Vervolgens kies je met teruglegging 3 CD-roms uit de doos, waarvan 1 defect blijkt te zijn.

Gegeven deze waarneming: bepaal voor elke doos de kans dat deze gekozen was.

----------------------------------------------------------------------------

Ik dacht dat het zo moest:

doos 0: P(GGD)=1≤*0*(3 2)=0
doos 20: P(GGD)=0,8≤*0,2*(3 2)=0,384
doos 40:P(GGD)=0,6≤*0,4*(3 2)=0,432
doos 60:P(GGD)=0,4≤*0,6*(3 2)=0,288
doos 80:P(GGD)=0,2≤*0,8*(3 2)=0,096
doos 100:P(GGD)=0≤*1*(3 2)=0

Deze methode bleek fout te zijn omdat alle kansen bij elkaar opgeteld groter dan 1 is.
weet iemand wat ik fout doe? Bedankt.

Wordnerd

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2004 - 16:46

Verplaatst naar huiswerkforum.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#3

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 november 2004 - 21:12

Stel dat de gebeurtenis A de kans is op het trekken van 2 goede en 1 defecte CD (A is dan de vereniging van de gebeurtenissen GGD, GDG en DGG).

Stel dat Dx de kans is dat ik doos x getrokken heb (met x% foute CD's).

Wat je wilt weten is de kans P(Dx|A) maar die kans kun je niet direct berekenen. De omgekeerde kans P(A|Dx) echter wel die zijn nl P(A|Dx)=3x(1-x)≤ (deze uitfrukking is een gevolg van de trekking met teruglegging, als er geen teruglegging is wordt hij anders).

Met de formule van Bayes kan hieruit de omgekeerde kans worden bepaald: P(Dx|A)=P(A|Dx)P(Dx)/P(A). Dit volgt uit de definitie van voorwaardelijke kans.
P(A) kan worden berekend door middel van P(A)=som{P(A|Dx)P(Dx)} mits je aanneemt dat de a priori kansen P(Dx)=1/6 zijn (er wordt gesommeerd over alle dozen).

Omdat in dit geval alle kansen P(Dx) gelijk zijn is de berekening vrij eenvoudig en is het gewoon een renormaliseren van de kansen die je zelf al hebt uitgerekend. De uitkomst is:
P(D0|A)=0
P(D20|A)=0.32
P(D40|A)=0.36
P(D60|A)=0.24
P(D80|A)=0.08
P(D100|A)=0

#4


  • Gast

Geplaatst op 02 november 2004 - 23:37

P(A) kan worden berekend door middel van P(A)=som{P(A|Dx)P(Dx)} mits je aanneemt dat de a priori kansen  P(Dx)=1/6 zijn (er wordt gesommeerd over alle dozen).


Dit snap ik niet, omdat je in eerste instantie toch slechts naar 1 doos kijkt...

#5

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2004 - 05:43


P(A) kan worden berekend door middel van P(A)=som{P(A|Dx)P(Dx)} mits je aanneemt dat de a priori kansen  P(Dx)=1/6 zijn (er wordt gesommeerd over alle dozen).


Dit snap ik niet, omdat je in eerste instantie toch slechts naar 1 doos kijkt...


Ik weet niet precies wat je niet stapt maar in feite vinden er na elkaar twee trekkingen plaats: eerst kies je een willekeurige doos (de kans op elke doos is dan 1/6) en daarna trek je 3x een CD uit de geselecteerde doos. Als je een beetje op de hoogte bent met kansrekening dan kun je de formule van Bayes zelf gemakkelijk afleiden.

#6

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 november 2004 - 10:12

Deze methode bleek fout te zijn omdat alle kansen bij elkaar opgeteld groter dan 1 is.
weet iemand wat ik fout doe? Bedankt.

Je kunt op de volgende manier alvast makkelijk inzien dat deze methode niet klopt: Stel je voor dat er niet 6 maar N dozen waren, allemaal met percentage G erop. De kans op iedere doos zou dan P(GGD) = 3G2(1-G) zijn, in totaal dus 3NG2(1-G). Dat kan (naarmate N stijgt) willekeurig groot worden.

Zie ook het verhaal van Bert, jij bent P(GGD|Dx) aan het uitrekenen, dat is de kans dat je GGD pakt gegeven het feit dat je doos x koos. Terwijl je juist P(Dx|GGD) wilt weten: de kans dat je doos x koos, gegeven het feit GGD. Deze voorwaardelijke kans P(Dx|GGD) is de kans dat je doos x kiest en daar 1 defecte uit haalt, gedeeld door de kans dat je sowieso 1 defecte krijgt.

Deze twee kansen zijn: (ik geef het percentage goeie CD's in doos x even aan met Gx)
P(doos x kiezen en daar GGD uit halen) = (1/6)·3Gx2(1-Gx) = Gx2(1-Gx)/2
P(GGD) = P(doos 1 en GGD) + P(doos 2 en GGD) etc.. = de som van de 6 kansen hierboven = 0.2

Deel je deze 2 door elkaar dan krijg je de antwoorden die Bert ook gaf.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#7

wordnerd

    wordnerd


  • >25 berichten
  • 47 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 november 2004 - 13:21

Deze methode bleek fout te zijn omdat alle kansen bij elkaar opgeteld groter dan 1 is.
weet iemand wat ik fout doe? Bedankt.

Je kunt op de volgende manier alvast makkelijk inzien dat deze methode niet klopt: Stel je voor dat er niet 6 maar N dozen waren, allemaal met percentage G erop. De kans op iedere doos zou dan P(GGD) = 3G2(1-G) zijn, in totaal dus 3NG2(1-G). Dat kan (naarmate N stijgt) willekeurig groot worden.

Zie ook het verhaal van Bert, jij bent P(GGD|Dx) aan het uitrekenen, dat is de kans dat je GGD pakt gegeven het feit dat je doos x koos. Terwijl je juist P(Dx|GGD) wilt weten: de kans dat je doos x koos, gegeven het feit GGD. Deze voorwaardelijke kans P(Dx|GGD) is de kans dat je doos x kiest en daar 1 defecte uit haalt, gedeeld door de kans dat je sowieso 1 defecte krijgt.

Deze twee kansen zijn: (ik geef het percentage goeie CD's in doos x even aan met Gx)
P(doos x kiezen en daar GGD uit halen) = (1/6)∑3Gx2(1-Gx) = Gx2(1-Gx)/2
P(GGD) = P(doos 1 en GGD) + P(doos 2 en GGD) etc.. = de som van de 6 kansen hierboven = 0.2

Deel je deze 2 door elkaar dan krijg je de antwoorden die Bert ook gaf.


Het kwartje is gevallen, bedankt voor jullie uitleg.

#8

*_gast_JLievense_*

  • Gast

Geplaatst op 20 juli 2008 - 09:14

Ik heb op 28 juli a.s een toelatingsexamen Wiskunde en ťťn van de onderdelen betreft kansen. Kent iemand een boek waarmee ik de basis van de kansberekening kan leren?

Bij voorbaat dank.

#9

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 juli 2008 - 13:07

Dezelfde vraag als over combinatoriek :D
Wat voor niveau is dat eigenlijk? Ik bedoel, "de basis" is op verschillende manieren op te vatten. Universiteit? Middelbare school?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 juli 2008 - 19:39

Het was ook handiger geweest als je zelf ťťn topic had gestart met wat meer uitleg over wat je zoekt, in plaats van drie verschillende (oudere) topics te gebruiken voor je vraag naar boeken...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

*_gast_JLievense_*

  • Gast

Geplaatst op 21 juli 2008 - 17:43

Dat had ik achteraf gezien inderdaad beter kunnen doen, maar nieuwe leden moeten altijd even wennen aan 'het systeem'.

In ieder geval, met basis bedoel ik eerstejaars universiteit.

Ik gebruik voor het toetlatingsexamen Basisboek Wiskunde (vd Craats en Bosch). Echter bevat dit boek de onderwerpen Kansen, Matrices en Combinatoriek niet.

Hopelijk kent iemand boeken die deze onderwerpen globaal, niet te gedetailleerd behandelen.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 juli 2008 - 19:17

Wiskundige basisvaardigheden: Vlaamse variant van het "Basisboek wiskunde", meer aangepast aan de leerplannen van hier, ook iets moeilijker.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Rexxar

    Rexxar


  • >100 berichten
  • 134 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 augustus 2008 - 22:12

Opgave:

6 dozen zijn genummerd: 0,20,40,60,80,100. Elke doos bevat een aantal nieuwe CD-roms. Het nummer op elke doos komt overeen met het percentage defecte CD-roms in de doos.

Stel dat je op toevallige wijze, met gelijke kansen, een doos kiest. Vervolgens kies je met teruglegging 3 CD-roms uit de doos, waarvan 1 defect blijkt te zijn.

Gegeven deze waarneming: bepaal voor elke doos de kans dat deze gekozen was.



..//..
Terwijl je juist P(Dx|GGD) wilt weten: de kans dat je doos x koos, gegeven het feit GGD. Deze voorwaardelijke kans P(Dx|GGD) is de kans dat je doos x kiest en daar 1 defecte uit haalt, gedeeld door de kans dat je sowieso 1 defecte krijgt.

Deze twee kansen zijn: (ik geef het percentage goeie CD's in doos x even aan met Gx)
P(doos x kiezen en daar GGD uit halen) = (1/6)∑3Gx2(1-Gx) = Gx2(1-Gx)/2
P(GGD) = P(doos 1 en GGD) + P(doos 2 en GGD) etc.. = de som van de 6 kansen hierboven = 0.2

Deel je deze 2 door elkaar dan krijg je de antwoorden die Bert ook gaf.


wat ik niet kan volgen, is wat betekent: P(Dx|GGD). Ik zie niet wat de Dx betekent, de rest wel.
en waarom staat die 1-Gx tussen de haken? wat heeft dat voor een functie?


ik had zelf ook een oplossing die het goede antwoord ook geeft.

doos 20% => (1/5)1 x (4/5)2 x (1/6) x LaTeX = 0,064
doos 40% => (2/5)1 x (3/5)2 x (1/6) x LaTeX = 0,072
doos 60% => (3/5)1 x (2/5)2 x (1/6) x LaTeX = 0,048
doos 80% => (4/5)1 x (1/5)2 x (1/6) x LaTeX = 0,016
doos 100% => 0 want er moeten 2 werkende cd's inzitten
doos 0% => 0 want er moet minimaal 1 defecte inzitten

dit is samen 0,2. Dus het antwoord wat rogier ook schreef.

#14

StrangeQuark

    StrangeQuark


  • >1k berichten
  • 4160 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 augustus 2008 - 23:36

Heb je door dat je aan het gravediggen bent in een topic van 4 jaar oud! Nou heb je misschien nog kans omdat gelukkig voor dit forum Rogier nog steeds rondloopt.
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.

#15

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 augustus 2008 - 23:38

Ik zie niet wat de Dx betekent

De kans dat je doos x koos

en waarom staat die 1-Gx tussen de haken? wat heeft dat voor een functie?

Gx is de fractie goede CD's in doos x, dus (1-Gx) is de fractie foute CD's in doos x. Je zou dit ook Fx kunnen noemen, en dan (1-Gx) vervangen door Fx als je dat duidelijker vindt.

De haakjes staan er gewoon omdat bijvoorbeeld LaTeX
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures