[Wiskunde] Kansen

wordnerd

Opgave:

6 dozen zijn genummerd: 0,20,40,60,80,100. Elke doos bevat een aantal nieuwe CD-roms. Het nummer op elke doos komt overeen met het percentage defecte CD-roms in de doos.

Stel dat je op toevallige wijze, met gelijke kansen, een doos kiest. Vervolgens kies je met teruglegging 3 CD-roms uit de doos, waarvan 1 defect blijkt te zijn.

Gegeven deze waarneming: bepaal voor elke doos de kans dat deze gekozen was.

----------------------------------------------------------------------------

Ik dacht dat het zo moest:

doos 0: P(GGD)=1²*0*(3 2)=0

doos 20: P(GGD)=0,8²*0,2*(3 2)=0,384

doos 40:P(GGD)=0,6²*0,4*(3 2)=0,432

doos 60:P(GGD)=0,4²*0,6*(3 2)=0,288

doos 80:P(GGD)=0,2²*0,8*(3 2)=0,096

doos 100:P(GGD)=0²*1*(3 2)=0

Deze methode bleek fout te zijn omdat alle kansen bij elkaar opgeteld groter dan 1 is.

weet iemand wat ik fout doe? Bedankt.

Wordnerd

Bart

Verplaatst naar huiswerkforum.

Bert

Stel dat de gebeurtenis A de kans is op het trekken van 2 goede en 1 defecte CD (A is dan de vereniging van de gebeurtenissen GGD, GDG en DGG).

Stel dat Dx de kans is dat ik doos x getrokken heb (met x% foute CD's).

Wat je wilt weten is de kans P(Dx|A) maar die kans kun je niet direct berekenen. De omgekeerde kans P(A|Dx) echter wel die zijn nl P(A|Dx)=3x(1-x)² (deze uitfrukking is een gevolg van de trekking met teruglegging, als er geen teruglegging is wordt hij anders).

Met de formule van Bayes kan hieruit de omgekeerde kans worden bepaald: P(Dx|A)=P(A|Dx)P(Dx)/P(A). Dit volgt uit de definitie van voorwaardelijke kans.

P(A) kan worden berekend door middel van P(A)=som{P(A|Dx)P(Dx)} mits je aanneemt dat de a priori kansen P(Dx)=1/6 zijn (er wordt gesommeerd over alle dozen).

Omdat in dit geval alle kansen P(Dx) gelijk zijn is de berekening vrij eenvoudig en is het gewoon een renormaliseren van de kansen die je zelf al hebt uitgerekend. De uitkomst is:

P(D0|A)=0

P(D20|A)=0.32

P(D40|A)=0.36

P(D60|A)=0.24

P(D80|A)=0.08

P(D100|A)=0

Anonymous

P(A) kan worden berekend door middel van P(A)=som{P(A|Dx)P(Dx)} mits je aanneemt dat de a priori kansen P(Dx)=1/6 zijn (er wordt gesommeerd over alle dozen).

Dit snap ik niet, omdat je in eerste instantie toch slechts naar 1 doos kijkt...

Bert

Anonymous schreef:
Bert schreef:
P(A) kan worden berekend door middel van P(A)=som{P(A|Dx)P(Dx)} mits je aanneemt dat de a priori kansen P(Dx)=1/6 zijn (er wordt gesommeerd over alle dozen).

Dit snap ik niet, omdat je in eerste instantie toch slechts naar 1 doos kijkt...

Ik weet niet precies wat je niet stapt maar in feite vinden er na elkaar twee trekkingen plaats: eerst kies je een willekeurige doos (de kans op elke doos is dan 1/6) en daarna trek je 3x een CD uit de geselecteerde doos. Als je een beetje op de hoogte bent met kansrekening dan kun je de formule van Bayes zelf gemakkelijk afleiden.

Rogier

wordnerd schreef:Deze methode bleek fout te zijn omdat alle kansen bij elkaar opgeteld groter dan 1 is.

weet iemand wat ik fout doe? Bedankt.

Je kunt op de volgende manier alvast makkelijk inzien dat deze methode niet klopt: Stel je voor dat er niet 6 maar N dozen waren, allemaal met percentage G erop. De kans op iedere doos zou dan P(GGD) = 3G²(1-G) zijn, in totaal dus 3NG²(1-G). Dat kan (naarmate N stijgt) willekeurig groot worden.

Zie ook het verhaal van Bert, jij bent P(GGD|Dx) aan het uitrekenen, dat is de kans dat je GGD pakt gegeven het feit dat je doos x koos. Terwijl je juist P(Dx|GGD) wilt weten: de kans dat je doos x koos, gegeven het feit GGD. Deze voorwaardelijke kans P(Dx|GGD) is de kans dat je doos x kiest en daar 1 defecte uit haalt, gedeeld door de kans dat je sowieso 1 defecte krijgt.

Deze twee kansen zijn: (ik geef het percentage goeie CD's in doos x even aan met G_x)

P(doos x kiezen en daar GGD uit halen) = (1/6)·3G_x²(1-G_x) = G_x²(1-G_x)/2

P(GGD) = P(doos 1 en GGD) + P(doos 2 en GGD) etc.. = de som van de 6 kansen hierboven = 0.2

Deel je deze 2 door elkaar dan krijg je de antwoorden die Bert ook gaf.

wordnerd

Rogier schreef:
wordnerd schreef:Deze methode bleek fout te zijn omdat alle kansen bij elkaar opgeteld groter dan 1 is.

weet iemand wat ik fout doe? Bedankt.
Je kunt op de volgende manier alvast makkelijk inzien dat deze methode niet klopt: Stel je voor dat er niet 6 maar N dozen waren, allemaal met percentage G erop. De kans op iedere doos zou dan P(GGD) = 3G²(1-G) zijn, in totaal dus 3NG²(1-G). Dat kan (naarmate N stijgt) willekeurig groot worden.

Zie ook het verhaal van Bert, jij bent P(GGD|Dx) aan het uitrekenen, dat is de kans dat je GGD pakt gegeven het feit dat je doos x koos. Terwijl je juist P(Dx|GGD) wilt weten: de kans dat je doos x koos, gegeven het feit GGD. Deze voorwaardelijke kans P(Dx|GGD) is de kans dat je doos x kiest en daar 1 defecte uit haalt, gedeeld door de kans dat je sowieso 1 defecte krijgt.

Deze twee kansen zijn: (ik geef het percentage goeie CD's in doos x even aan met G_x)

P(doos x kiezen en daar GGD uit halen) = (1/6)·3G_x²(1-G_x) = G_x²(1-G_x)/2

P(GGD) = P(doos 1 en GGD) + P(doos 2 en GGD) etc.. = de som van de 6 kansen hierboven = 0.2

Deel je deze 2 door elkaar dan krijg je de antwoorden die Bert ook gaf.

Het kwartje is gevallen, bedankt voor jullie uitleg.

JLievense

Ik heb op 28 juli a.s een toelatingsexamen Wiskunde en één van de onderdelen betreft kansen. Kent iemand een boek waarmee ik de basis van de kansberekening kan leren?

Bij voorbaat dank.

Phys

Dezelfde vraag als over combinatoriek

Wat voor niveau is dat eigenlijk? Ik bedoel, "de basis" is op verschillende manieren op te vatten. Universiteit? Middelbare school?

TD

Het was ook handiger geweest als je zelf één topic had gestart met wat meer uitleg over wat je zoekt, in plaats van drie verschillende (oudere) topics te gebruiken voor je vraag naar boeken...

JLievense

Dat had ik achteraf gezien inderdaad beter kunnen doen, maar nieuwe leden moeten altijd even wennen aan 'het systeem'.

In ieder geval, met basis bedoel ik eerstejaars universiteit.

Ik gebruik voor het toetlatingsexamen Basisboek Wiskunde (vd Craats en Bosch). Echter bevat dit boek de onderwerpen Kansen, Matrices en Combinatoriek niet.

Hopelijk kent iemand boeken die deze onderwerpen globaal, niet te gedetailleerd behandelen.

TD

Wiskundige basisvaardigheden: Vlaamse variant van het "Basisboek wiskunde", meer aangepast aan de leerplannen van hier, ook iets moeilijker.

Rexxar

wordnerd schreef:Opgave:

6 dozen zijn genummerd: 0,20,40,60,80,100. Elke doos bevat een aantal nieuwe CD-roms. Het nummer op elke doos komt overeen met het percentage defecte CD-roms in de doos.

Stel dat je op toevallige wijze, met gelijke kansen, een doos kiest. Vervolgens kies je met teruglegging 3 CD-roms uit de doos, waarvan 1 defect blijkt te zijn.

Gegeven deze waarneming: bepaal voor elke doos de kans dat deze gekozen was.

Rogier schreef:..//..

Terwijl je juist P(Dx|GGD) wilt weten: de kans dat je doos x koos, gegeven het feit GGD. Deze voorwaardelijke kans P(Dx|GGD) is de kans dat je doos x kiest en daar 1 defecte uit haalt, gedeeld door de kans dat je sowieso 1 defecte krijgt.

Deze twee kansen zijn: (ik geef het percentage goeie CD's in doos x even aan met G_x)

P(doos x kiezen en daar GGD uit halen) = (1/6)·3G_x²(1-G_x) = G_x²(1-G_x)/2

P(GGD) = P(doos 1 en GGD) + P(doos 2 en GGD) etc.. = de som van de 6 kansen hierboven = 0.2

Deel je deze 2 door elkaar dan krijg je de antwoorden die Bert ook gaf.

wat ik niet kan volgen, is wat betekent: P(Dx|GGD). Ik zie niet wat de Dx betekent, de rest wel.

en waarom staat die 1-G_x tussen de haken? wat heeft dat voor een functie?

ik had zelf ook een oplossing die het goede antwoord ook geeft.

doos 20% => (1/5)¹ x (4/5)² x (1/6) x \( \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right) \) = 0,064

doos 40% => (2/5)¹ x (3/5)² x (1/6) x \( \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right) \) = 0,072

doos 60% => (3/5)¹ x (2/5)² x (1/6) x \( \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right) \) = 0,048

doos 80% => (4/5)¹ x (1/5)² x (1/6) x \( \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right) \) = 0,016

doos 100% => 0 want er moeten 2 werkende cd's inzitten

doos 0% => 0 want er moet minimaal 1 defecte inzitten

dit is samen 0,2. Dus het antwoord wat rogier ook schreef.

StrangeQuark

Heb je door dat je aan het gravediggen bent in een topic van 4 jaar oud! Nou heb je misschien nog kans omdat gelukkig voor dit forum Rogier nog steeds rondloopt.

Rogier

Ik zie niet wat de Dx betekent

De kans dat je doos x koos

en waarom staat die 1-G_x tussen de haken? wat heeft dat voor een functie?

G_x is de fractie goede CD's in doos x, dus (1-G_x) is de fractie foute CD's in doos x. Je zou dit ook F_x kunnen noemen, en dan (1-G_x) vervangen door F_x als je dat duidelijker vindt.

De haakjes staan er gewoon omdat bijvoorbeeld

\(\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{4}{5} = \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}\cdot(1-\frac{1}{5}) \neq \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}\cdot 1-\frac{1}{5}\)

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[Wiskunde] Kansen

[Wiskunde] Kansen

Re: [Wiskunde] Kansen

Re: [Wiskunde] Kansen

Re: [Wiskunde] Kansen

Re: [Wiskunde] Kansen

Re: [Wiskunde] Kansen

Re: [Wiskunde] Kansen

Re: [Wiskunde] Kansen

Re: [Wiskunde] Kansen

Re: [Wiskunde] Kansen

Re: [Wiskunde] Kansen

Re: [Wiskunde] Kansen

Re: [Wiskunde] Kansen

Re: [Wiskunde] Kansen

Re: [Wiskunde] Kansen