Gekoppelde differentiaalvergelijkingen (lastig)

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 18-08-'06, 08:42

Elmo

Gebruikersavatar
Berichten: 3.437

Gekoppelde differentiaalvergelijkingen (lastig)

Ik heb een heel naar setje differentiaalvergelijkingen:

De bronterm is
\(f(x)=\left{\begin{array}{rcl}0 & \mbox{for} & x<0 1 & \mbox{for} & 0<x<X 0 & \mbox{for} & x>X\end{array}\right.\)
en de vergelijkingen zijn:
\(\frac{\partial g_1(x)}{\partial x} = -\alpha f(x) g_1(x) + R g_2(x)\)
\(\frac{\partial g_2(x)}{\partial x} = - R g_2(x) + W g_3(x)\)
\(\frac{\partial g_3(x)}{\partial x} = - W g_3(x) + \alpha f(x) g_1(x)\)
De parameters \(\alpha, R, W\) zijn allemaal reeel en positief. Uiteraard geldt dit ook voor \(X\).

Ik krijg dit absoluut niet analytisch opgelost. Ik ben geinteresseerd in het gebied \(0<x<\sim 5X\).

Iemand een idee?
Never underestimate the predictability of stupidity...
Omhoog

Bericht 18-08-'06, 10:11

Jekke

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Re: Gekoppelde differentiaalvergelijkingen (lastig)

http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_expone...8homogeneous.29 Volgens mij is het een gelijkvormig stelsel. Als je weet dat alle parameters positief zijn moet het oplosbaar zijn. Ik denk wel dat je het zal moeten 2x oplossen voor x tussen nul en X en x groter dan X en dus f evalueren vooraleer je het oplost. (Heb momenteel geen tijd het zelf eens te proberen, jammer [rr] )

Of misschien Laplace?
Omhoog

Bericht 18-08-'06, 11:57

Rudeoffline

Berichten: 624

Re: Gekoppelde differentiaalvergelijkingen (lastig)

HolyCow schreef:http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_expone...8homogeneous.29 Volgens mij is het een gelijkvormig stelsel. Als je weet dat alle parameters positief zijn moet het oplosbaar zijn. Ik denk wel dat je het zal moeten 2x oplossen voor x tussen nul en X en x groter dan X en dus f evalueren vooraleer je het oplost. (Heb momenteel geen tijd het zelf eens te proberen, jammer   [rr] )

Of misschien Laplace?
Ik kan me herinneren dat ik zulke setjes nog wel es heb opgelost met bepaalde transformaties, zoals Laplace transformaties... Is dat al geprobeerd?
Omhoog

Bericht 18-08-'06, 12:23

Jekke

Gebruikersavatar
Berichten: 997

Re: Gekoppelde differentiaalvergelijkingen (lastig)

Inderdaad Laplace moet lukken denk ik, maar ik denk dat het via eigenwaarden of exponentiële eenvoudiger gaat.
Omhoog

Bericht 18-08-'06, 15:07

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Gekoppelde differentiaalvergelijkingen (lastig)

Met eigenwaarden zou inderdaad kunnen voor bijvoorbeeld 0<x<X komt dat neer op de matrix:
\(\left( {\begin{array}{*{20}c} { - \alpha } & R & 0 0 & { - R} & W \alpha & 0 & { - W} \end{array}} \right)\)
Dat is geen lachtertje, maar er is ook een gemakkelijke eigenwaarde, namelijk 0, met als bijbehorende eigenvector (W/a,W/r,1).

Hierdoor een oplossingsvector G (met componenten g1,g2,g3) volgens
\(G = Ve^{\lambda x}\)
, met V de eigenvector en lambda bijbehorende eigenwaarde.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 18-08-'06, 15:18

Elmo

Gebruikersavatar
Berichten: 3.437

Re: Gekoppelde differentiaalvergelijkingen (lastig)

Goed idee! De andere eigenwaarden zijn ook niet super-vreselijk:
\(-\frac12\left(\alpha+R+W\pm\sqrt{(\alpha-R)^2-2(\alpha+R)W+W^2}\right)\)
Van het weekeinde eens netjes proberen uit te werken...
Never underestimate the predictability of stupidity...
Omhoog

Bericht 18-08-'06, 15:22

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Gekoppelde differentiaalvergelijkingen (lastig)

Nee, maar in vergelijking met 0 zijn ze toch een-beetje-vreselijk :)

Nog succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 18-08-'06, 18:57

evilbu

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: Gekoppelde differentiaalvergelijkingen (lastig)

Wel als ik even iets kan zeggen, dit wordt vrij gemakkelijk een stelsel met twee onbekenden :

voor
\(0<x<1 \)
geldt :
\(\frac{\partial g_1(x)}{\partial x}+\frac{\partial g_2(x)}{\partial x}+\frac{\partial g_3(x)}{\partial x}=C \)
met
\(C\)
constant

dat laat toe om, als ik me niet vergis dit stelsel te bekomen :
\(\frac{\partial g_1(x)}{\partial x}=-\alpha g_1(x) +R g_2(x)\)
\(\frac{\partial g_2(x)}{\partial x}=-R g_2(x) + W C-W g_1(x)-W g_2(x ) \)
Dat is al iets meer routine om uit te werken (door de eerste vergelijking nog es af te leiden), indien nodig ga ik er verder op in. Maar zware matrixmethoden zijn dus niet nodig.
Omhoog

Bericht 22-08-'06, 07:47

Elmo

Gebruikersavatar
Berichten: 3.437

Re: Gekoppelde differentiaalvergelijkingen (lastig)

\(\frac{\partial g_1(x)}{\partial x}+\frac{\partial g_2(x)}{\partial x}+\frac{\partial g_3(x)}{\partial x}=C  \)
met
\(C\)
constant
Helemaal mee eens. Ik weet zelfs dat \(C=0\), en dat maakt de zaak nog iets makkelijker.

Maar dit:
evilbu schreef:
\(\frac{\partial g_1(x)}{\partial x}=-\alpha g_1(x) +R g_2(x)\)
\(\frac{\partial g_2(x)}{\partial x}=-R g_2(x) + W C-W g_1(x)-W g_2(x ) \)
klopt volgens mij niet. Je ziet het ook zo: je hebt opeens een term \(W C-W g_1(x)-W g_2(x ) \). Die komt, denk ik, omdat je er ook nog een relatie als
\(g_1(x)+g_2(x)+g_3(x)=C\)
ingestopt hebt.

@TD!: De eigenwaarde 0 is inderdaad de makkelijkste. Maar dat geeft ook de triviaalste oplossingsvector: \(G = Ve^{\lambda x}= Ve^{0 x}=V\). Daar heb je meestal niet zo veel aan. Ik zal dus waarschijnlijk toch mijn iets-lastigere eigenwaardes moeten gebruiken.
Never underestimate the predictability of stupidity...
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”