Springen naar inhoud

[Wiskunde] Reeksen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Stef

    Stef


  • >100 berichten
  • 153 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 augustus 2006 - 10:20

f(x) = ln(1-x)

We gaan f benaderen met de McLaurinveelterm van graad 5. Bepaal een getal r zodat:

|f(x)-P5(x)| < (1/6).10-6 voor elke x is een element van [-r,r]


Mijn antwoord:

f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)

en die laatste term moet kleiner zijn dan (1/6).10-6

|Rn+1(x)| ≤ |x|n+1/(n+1)! . max |fn+1(t)|

We nemen dus n=5 en berekenen de 6e afgeleide van ln(1-x), dit is -120/(x-1)6

R6(x) = r6/6! . max |-120/(x-1)6|

En dit moet kleiner zijn dan (1/6).10-6

Klopt dit tot hiertoe? En hoe bepaal je die max-term als je de grenzen niet weet van het interval ?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 26 augustus 2006 - 17:21

Helemaal goed.

Als je de grenzen niet kent van het interval, dan valt de restterm doorgaans niet klein te kletsen, omdat resttermfuncties over R meestal onbegrensd zijn. Zijn ze wel over R begrensd, dan kun je ook wel een globale afschatting maken. B.v. |sin(x)| :) 1 voor x [rr] :?:.

#3

Stef

    Stef


  • >100 berichten
  • 153 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 augustus 2006 - 17:46

r6/6! . max |-120/(x-1)6|

dit moet kleiner zijn dan (1/6).10-6.

Als ik dan die 2e term 1 neem:

r6/6! < (1/6).10-6

r = 0,2

Maar ik denk niet dat je die max-term mag gelijkstellen aan 1.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 augustus 2006 - 17:48

Maar ik denk niet dat je die max-term mag gelijkstellen aan 1.

Die kan je niet door 1 afschatten, voor x dicht bij 1 wordt die factor zelfs erg groot...

Maar je hebt ontwikkeld rond 0 en r zal zeker kleiner zijn dan 1, anders wordt je rest veel te groot. Je wil r maximaal, maar ook die restterm zal groter worden voor stijgende r. De x in die factor is eigenlijk een x*, gelegen tussen het punt waarrond je ontwikkelt, hier 0, en het punt waarin je de reeks evalueert. We zoeken net r als dit laatste, zodanig dat de fout kleiner is dan de opgegeven waarde. Neem daar dus ook r:

LaTeX

Dit levert voor r:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Stef

    Stef


  • >100 berichten
  • 153 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 augustus 2006 - 18:42

Ik ben mee, dankjewel.

Kan je nog even zeggen hoe je die laatste ongelijkheid oplost, die lukt me niet ?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 augustus 2006 - 23:27

LaTeX

Eerste levert niets, tweede:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures