bewijs

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Berichten: 15

bewijs

sin alfa.gif / 1-cos alfa.gif = 1+cos alfa.gif / sin alfa.gif

=sin alfa.gif / cos² alfa.gif +sin² alfa.gif -cos alfa.gif

wat nu als het al nie fout is :

Berichten: 169

Re: bewijs

Ik neem aan dat je bedoelt:

sin(a)/(1-cos(a)) = (1+cos(a))/sin(a) = sin(a)/(cos²(a)+sin²(a)-cos(a))

sin(a)/(1-cos(a))

Hier vermenigvuldig je teller en noemer met (1+cos(a)), dan krijg je:

{sin(a)*(1+cos(a))}/{(1-cos(a)*(1+cos(a))}

en vermits (1-cos(a))*(1+cos(a)) = 1-cos²(a) krijg je:

{sin(a)*(1+cos(a))}/(1-cos²(a))

Ook weet je dat sin²(a) + cos²(a) = 1 ==> sin²(a) = 1-cos²(a) en dus:

{sin(a)*(1+cos(a))}/sin²(a) na wegdelen van sin(a) in teller en noemer krijg je:

(1+cos(a))/sin(a) w.m.b.w.

sin(a)/(cos²(a)+sin²(a)-cos(a)) vermits sin²(a) + cos²(a) = 1 krijg je:

sin(a)/(1-cos(a)) w.m.b.w.

Melissa

Berichten: 15

Re: bewijs

een dikke mercie

ik em nog een oefening

cos(a)/(1-tan(a))+sin(a)/(1-cot(a))=cos(a)+sin(a)

moe ik da op dezelfde manier doen ?

enik zit al weer vast na de eerste stap :s

Berichten: 169

Re: bewijs

Voor extra duidelijkheid, toch even in Latex proberen...
\(\frac{\sin(\alpha)}{1-\cos(\alpha)} = \frac{1+\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)-\cos(\alpha)}\)
\(\frac{\sin(\alpha)}{1-\cos(\alpha)} \)
hier vermenigvuldig je teller en noemer met
\(1+\cos(\alpha) \)
, dan krijg je:
\( \frac{\sin(\alpha)*(1+\cos(\alpha))}{(1-\cos(\alpha))*(1+\cos(\alpha))}\)
en vermits
\((1-\cos(\alpha))*(1+\cos(\alpha)) = (1-\cos^2(\alpha))\)
krijg je:
\(\frac{\sin(\alpha)*(1+\cos(\alpha))}{1-\cos^2(\alpha)}\)
Ook weet je dat
\(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 1\)
==>
\(\sin^2(\alpha) = 1-\cos^2(\alpha)\)
en dus:
\(\frac{\sin(\alpha)*(1+\cos(\alpha))}{\sin^2(\alpha)}\)
na wegdelen van
\(\sin(\alpha)\)
in teller en noemer krijg je:
\(\frac{1+\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\)
w.m.b.w.
\(\frac{\sin(\alpha)}{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)-\cos(\alpha)}\)
vermits
\( \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 1\)
krijg je:
\(\frac{\sin(\alpha)}{1-\cos(\alpha)}\)
w.m.b.w.

Melissa

Berichten: 169

Re: bewijs

Bij die tweede oefening moet je de tangens en de cotangens omzetten naar sinussen en cosinussen. Je weet dat tan(a)=sin(a)/cos(a) en cot(a)=cos(a)/sin(a)

Daarna moet je alles proberen op gelijke noemer te brengen en je zal zien dat het mooi uitkomt...

Melissa

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: bewijs

Melissa schreef:Voor extra duidelijkheid, toch even in Latex proberen...
\(\frac{\sin(\alpha)}{1-\cos(\alpha)} = \frac{1+\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)-\cos(\alpha)}\)
\(\frac{\sin(\alpha)}{1-\cos(\alpha)} \)
hier vermenigvuldig je teller en noemer met
\(1+\cos(\alpha) \)
, dan krijg je:
\( \frac{\sin(\alpha)*(1+\cos(\alpha))}{(1-\cos(\alpha))*(1+\cos(\alpha))}\)
en vermits
\((1-\cos(\alpha))*(1+\cos(\alpha)) = (1-\cos^2(\alpha))\)
krijg je:
\(\frac{\sin(\alpha)*(1+\cos(\alpha))}{1-\cos^2(\alpha)}\)
Ook weet je dat
\(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 1\)
==>
\(\sin^2(\alpha) = 1-\cos^2(\alpha)\)
en dus:
\(\frac{\sin(\alpha)*(1+\cos(\alpha))}{\sin^2(\alpha)}\)
na wegdelen van
\(\sin(\alpha)\)
in teller en noemer krijg je:
\(\frac{1+\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\)
w.m.b.w.
\(\frac{\sin(\alpha)}{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)-\cos(\alpha)}\)
vermits
\( \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 1\)
krijg je:
\(\frac{\sin(\alpha)}{1-\cos(\alpha)}\)
w.m.b.w.

Melissa


Melissa, is de notatie zo in orde, maw jij begrijpt dit?

Maar ... we zitten nog altijd met een onduidelijke opgave.

Als je aanneemt (in die nototie) dat de gelijkheid juist is, kan je net zo goed 'kruislings vermenigvuldigen'.

Maar laat dit nu eens even aan 'rustyman' over.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: bewijs

rustyman schreef:een dikke mercie  

ik em nog een oefening  

cos(a)/(1-tan(a))+sin(a)/(1-cot(a))=cos(a)+sin(a)

moe ik da op dezelfde manier doen ?

en ik zit al weer vast na de eerste stap :s
Dit is duidelijk een goede vraag

Ga uit van het linkerlid en probeer uit te komen op het rechterlid. Volg de aanwijzing van Melissa.

Berichten: 15

Re: bewijs

dus :

cos(a) / (1-tan(a))+ sin(a) / (1-cot(a))

= cos(a) / 1-(sin(a))/(cos(a)) + sin(a)/1-(cos(a))/(sin(a))

=1-sin(a)+1-cos(a)

=sin(a)+cos(a)

is dit goed ?

of was dit iets te gemakkelijk :)

Berichten: 15

Re: bewijs

ik zie nu al dat ik fout ben

maar wat gedaan met die 1

Berichten: 7.068

Re: bewijs

Probeer het eens met:
\(\frac{\cos(a)}{1-\frac{\sin(a)}{\cos(a)}} + \frac{\sin(a)}{1-\frac{\cos(a)}{\sin(a)}} = \frac{\cos^2(a)}{\cos(a)-\sin(a)} + \frac{\sin^2(a)}{\sin(a)-\cos(a)} = \frac{\cos^2(a)}{\cos(a)-\sin(a)} - \frac{\sin^2(a)}{\cos(a)-\sin(a)} = \frac{\cos^2(a) - \sin^2(a)}{\cos(a)-\sin(a)}\)
en:
\((f+g)\cdot(f-g) = f^2 - g^2\)

Berichten: 15

Re: bewijs

hoe ga je van stap 1 naar stap 2

eigelijk ben ik helemaal niet mee

en de oplossing zou moeten cos (a)+ sin (a) zijn

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: bewijs

rustyman schreef:hoe ga je van stap 1 naar stap 2  

eigelijk ben ik helemaal niet mee

en de oplossing zou moeten cos (a)+ sin (a) zijn
Weet je 'iets' van breuken?

Berichten: 7.068

Re: bewijs

hoe ga je van stap 1 naar stap 2
Vermenigvuldigen met 1.
\(\frac{\cos(a)}{1-\frac{\sin(a)}{\cos(a)}} + \frac{\sin(a)}{1-\frac{\cos(a)}{\sin(a)}} =1 \cdot \frac{\cos(a)}{1-\frac{\sin(a)}{\cos(a)}} + 1 \cdot \frac{\sin(a)}{1-\frac{\cos(a)}{\sin(a)}} = \frac{\cos(a)}{\cos(a)} \cdot \frac{\cos(a)}{1-\frac{\sin(a)}{\cos(a)}} + \frac{\sin(a)}{\sin(a)} \cdot \frac{\sin(a)}{1-\frac{\cos(a)}{\sin(a)}}\)
\(= \frac{\cos^2(a)}{\cos(a) \cdot (1 -\frac{\sin(a)}{\cos(a)})} + \frac{\sin^2(a)}{\sin(a) \cdot (1 -\frac{\cos(a)}{\sin(a)})} = \frac{\cos^2(a)}{\cos(a)-\sin(a)} + \frac{\sin^2(a)}{\sin(a)-\cos(a)}\)

en de oplossing zou moeten cos (a)+ sin (a) zijn
Dat is de oplossing ook. Je moet mijn tweede regel gebruiken om de teller te ontbinden.

Succes.

Berichten: 15

Re: bewijs

ik zie niet hoe je van cos²(a)-sin²(a) /cos(a)-sin(a)

aan cos(a) + sin (a) komt

Berichten: 7.068

Re: bewijs

rustyman schreef:ik zie niet hoe je van  cos²(a)-sin²(a) /cos(a)-sin(a)  

aan  cos(a) + sin (a) komt
Probeer dit eens:
\((f+g)\cdot(f-g) = f^2 - g^2\)
Met:
\(f = \cos(x)\)
en
\(g = \sin(x)\)

Reageer