[Mechanica] Maximale valsnelheid?

rudeman

Wat is de maximale snelheid die een massa kan halen door toedoen van een zwaartekracht?

Jan van de Velde

Klassiek: Zolang een kracht op een object wordt uitgeoefend, zal het object blijven versnellen. Antwoord maximale snelheid: oneindig. Daarvoor moet het startpunt van de "val" overigens ook wel in het oneindige liggen.

Modern: zie dat andere forum..?..

Wien Ee

Die snelheid is gelijk aan de ontsnappingssnelheid.

\(v_{ontsna\pp\ing}=\sqrt{2 * g * R}\)

Voor de aarde is die snelheid 11,1 kilometer per seconde, ofwel 40.000 kilometer per uur.

Als iets dat stilstaat vanaf het oneindige op de aarde zou vallen, dan zou het vallen met snelheid 11,1 kilometer per seconde, ofwel 40.000 kilometer per uur.

EvilBro

Wat is de maximale snelheid die een massa kan halen door toedoen van een zwaartekracht?

Als we het even newtoniaans bekijken: We hebben een puntmassa \(m_1\) die de zwaartekracht veroorzaakt. Deze zetten we op de oorsprong. Op een afstand \(b\) zetten we een test (punt)massa \(m_2\). Nu berekenen we de hoeveelheid energie die nodig is om de massa \(m_2\) naar het oneindige te verplaatsen.

\(\int_b^\infty F® dr = \int_b^\infty G \frac{m_1 m_2}{r^2} dr = -G m_1 m_2 \int_b^\infty \frac{-1}{r^2} dr = -G m_1 m_2 \left[\frac{1}{r}\right]_b^\infty = \frac{G m_1 m_2}{b}\)

Aangezien je nu weet hoeveel energie het kost om de massa naar het oneindige te brengen, weet je ook hoeveel energie het oplevert als je de massa weer terug laat vallen. Deze energie wordt dan omgezet naar kinetische energie, dus:

\(\frac{1}{2} m_2 v_b^2 = \frac{G m_1 m_2}{b} \rightarrow v = \sqrt{\frac{2 G m_1}{b}}\)

Als nu de afstand \(b\) naar nul gaat, dan zal de snelheid \(v\) naar oneindig gaan. Het is misschien leuker om te kijken hoe hard een projectiel uit de ruimte op het aardoppervlak zal neerkomen als het vanuit het oneindige alleen door de aarde wordt aangetrokken. We vinden met:

\(m_1 = 5,976 \cdot 10^{24} \mbox{ kg}\)

\(b = 6,378 \cdot 10^6 \mbox{ m}\)

dan:

\(v \approx 11 \mbox{ km/s}\)

Ik vind het een verrassend lage snelheid. Heeft iemand misschien commentaar op mijn methode?

Brinx

Voor zover ik kan beoordelen klopt je berekening gewoon, Evilbro. Logisch ook: je hebt de ontsnappingssnelheid van de aarde uitgerekend, en die is inderdaad iets meer dan 11 km/s. Gewoon de snelheid die je een object moet geven ter plaatse van het aardoppervlak, in een willekeurige richting weg van de aarde, om het zich tot een oneindige afstand van de aarde te laten verwijderen, waarbij de snelheidslimiet op oneindig grote afstand naar 0 gaat.

Jan van de Velde

Evilbro weer eens op zijn best.

Vervolgens de ontsnappingssnelheid voor Captain Kirk, die wil vertrekken van Betelgeuse? Want de aarde is maar een stofje in het heelal. James zal fors op het gas moeten trappen, want Betelgeuse heeft een 15-17 x zo grote massa als de zon, en die heeft een 333000 x zo grote massa als de aarde. Dat levert me een ontsnappingssnelheid van ruwweg 25000 km/s. Nog een 144 x grotere massa dan Betelgeuse en ik zit aan de lichtsnelheid. Ofwel, is er eigenlijk een maximale snelheid a.g.v. een zwaartekracht? In theorie lijkt me niet.

Brinx

Ofwel, is er eigenlijk een maximale snelheid a.g.v. een zwaartekracht? In theorie lijkt me niet.

Jan, ik begrijp deze zinnen niet goed. Kun je ze toelichten misschien?

Jan van de Velde

Toelichting:

Rudeman vroeg:

Wat is de maximale snelheid die een massa kan halen door toedoen van een zwaartekracht?

Nou heeft Evilbro op een voorbeeldige (zo te zien, want integraalrekening is zeker niet mijn forte) manier uitgerekend wat die maximale snelheid zou zijn als gevolg van de zwaartekracht van de aarde. Maar die 11 km/s is zeker niet het maximum, want Evilbro's formule kun je ook invullen voor Betelgeuse. Nou weet ik niet welke massa het grootste lichaam in het heelal heeft, maar waar houdt het nou in theorie echt op? Bij die lichtsnelheid? Of eerder? 11 km/s is zeker niet het gevraagde maximum.

Brinx

Ah, zo bedoelde je dat. In dat geval lijkt mij de maximale snelheid op te treden wanneer je een zwart gat beschouwt. Zomaar een grotere massa beschouwen lijkt me niet voldoende: neem bijvoorbeeld een compleet sterrenstelsel. Een enorme massa, maar ook erg verspreid zodat de ontsnappingssnelheid weer erg mee zal vallen.

Bij een zwart gat is de massa enorm geconcentreerd, zodat vooral in het laatste vallende stuk de snelheid nog sterk toeneemt. Het maximum hiervoor lijkt me inderdaad de lichtsnelheid, maar het is wat lastig te beschouwen omdat je bij de waarnemingshorizon van een zwart gat eigenlijk moet gaan zeggen ten opzichte van welke waarnemer je die snelheid beschouwt. Ten opzichte van een waarnemer die een heel stuk van het zwarte gat af zit (op veilige afstand) bereikt het invallende object een snelheid groter dan de lichtsnelheid wanneer het de waarnemingshorizon is gepasseerd. Dit is echter een kromme definitie van snelheid, omdat hier de ruimte-tijd zelf vervormt. Lokaal gemeten kan de snelheid van een invallen object nooit groter worden dan de lichtsnelheid.

Vergelijk het met het expanderen van het heelal, waarbij twee objecten een relatieve snelheid kunnen bereiken die groter is dan de lichtsnelheid als ze op voldoende grote afstand van elkaar staan zodat de ruimte er tussenin zorgt voor een voldoende snel toenemende onderlinge afstand.

Jan van de Velde

Ik leer zo nog eens wat over de sterren, een O3 ster, Omicron1 Centauri, zou in de Melkweg wel eens de grootste kunnen zijn met ±120 sol (zonmassa's) Dat is dus nog eens 9 x zo groot als Betelgeuse, ontsnappingssnelheid dus ca 75000 km/s.

Brinx

Jan, voor welke afstand tot de ster geldt die ontsnappingssnelheid? Sterren zwaarder dan de zon zijn ook veel groter - als je de ontsnappingssnelheid wilt uitrekenen voor zulke sterren vanaf hun 'oppervlak' moet je andere waarden voor de 'beginafstand' tot de massa hanteren... eenvoudigweg de ontsnappingssnelheid van een minder massief hemellichaam vermenigvuldigen met de wortel van de massaverhouding is net iets te kort door de bocht...

Of had je die waarden elders gevonden?

Jan van de Velde

Sterren zwaarder dan de zon zijn ook veel groter - als je de ontsnappingssnelheid wilt uitrekenen voor zulke sterren vanaf hun 'oppervlak' moet je andere waarden voor de 'beginafstand' tot de massa hanteren..

Yep, had ik over het hoofd gezien. Die /b staat daar ook nog natuurlijk.

Tja, dan moeten we het maar bij de zwaartekracht van die zwarte gaten houden, en concluderen dat we als gevolg van "een" zwaartekracht maximaal tot de lichtsnelheid komen. Lijkt me.

Fingolfin

120 zonsmassa's is zo ongeveer niets. Uiteraart zijn objecten als clusters en sterrenstelsels veel zwaarder, maar er bestaan ook extreem zware zwarte gaten. Deze zwarte gaten kunnen miljoenen zonsmassa's zwaar zijn en komen voor in centra van sterrenstelsels. Een bron is:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Zwart_gat

Al heb ik ook ergens gelezen dat de massa van het daar genoemde zwarte gat zo'n 2.6 zonsmassa zou zijn.

sirc

ik heb ooit eens gelezen dat als je uit een vliegtuig springt van algelijk welke hoogte en je een zo groot mogelijk raakoppervlak maakt (d.w.z. plat liggen en je armen en benen strekken) je maximum aan 180 km/u kan vallen, deze snelheid werd ooit eens proefondervindelijk uitgeprobeerd.

deze 'lage' snelheid is te wijten aan luchtweerstand en dergelijken

aaargh

Het probleem bij grotere massa's is dat je die niet mag bekijken op Newtoniaanse manier, maar dat dan de generale relativiteit begint mee te spelen. In dat geval kom je op een maximale snelheid die gelijk is aan de lichtsnelhied.

Maar in gevallen op meer voorstelbare schalen is de snelheid idd zeer beperkt, wegens de luchtwrijving.

P.S.: Welkom terug allemaal, ik kom het wetenschapsforum weer eens wat regelamtiger bezoeken na mijn lange afwezigheid

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[Mechanica] Maximale valsnelheid?

[Mechanica] Maximale valsnelheid?

Re: [Mechanica] Maximale valsnelheid?

Re: [Mechanica] Maximale valsnelheid?

Re: [Mechanica] Maximale valsnelheid?

Re: [Mechanica] Maximale valsnelheid?

Re: [Mechanica] Maximale valsnelheid?

Re: [Mechanica] Maximale valsnelheid?

Re: [Mechanica] Maximale valsnelheid?

Re: [Mechanica] Maximale valsnelheid?

Re: [Mechanica] Maximale valsnelheid?

Re: [Mechanica] Maximale valsnelheid?

Re: [Mechanica] Maximale valsnelheid?

Re: [Mechanica] Maximale valsnelheid?

Re: [Mechanica] Maximale valsnelheid?

Re: [Mechanica] Maximale valsnelheid?