Springen naar inhoud

Bewijs-Veeltermfunctie-Als een nulpt. zuiver rationeel is...


  • Log in om te kunnen reageren

#1

The Crazy Noob

    The Crazy Noob


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 september 2006 - 15:56

Kan iemand me helpen (lees: oplossing geven :)) met het volgende bewijs ivm veeltermfuncties (eig. vierdegraadsvgl voor bewijs):
Als een nulpunt van een veeltermfunctie zuiver rationeel is, dan is:
- de teller een deler van de constante,
- de noemer een deler van de hoogstegraadscoeficient

OF (hier een vierdegraadsvergelijking):
als:LaTeX een nulpunt is van LaTeX
dan is:
- LaTeX een deler van LaTeX
- LaTeX een deler van LaTeX


Bedankt op voorhand,

The Crazy Noob

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 september 2006 - 16:37

Neem de oplossing p/q en veronderstel dat deze vereenvoudigd is (i.e. ggd(p,q) = 1).
Substitueer de oplossing en vermenigvuldig met LaTeX , herschrijf als volgt:

LaTeX

Je ziet dat LaTeX deelbaar is door p, maar omdat ggd(p,q) = 1, is LaTeX dus eveneens deelbaar door p.

Op een gelijkaardige manier kan je LaTeX afzonderen en q buiten haakjes brengen.

Het is ook duidelijk dat het bewijs niet beperkt is tot 4, dit kan ook makkelijk algemeen met maximale macht n.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 september 2006 - 16:37

Dat kan ik niet.

Beschouw LaTeX

LaTeX waarbij de teller niet -1 deelt. 8)

Je bent vergeten erbij te zeggen dat p en q onderling ondeelbaar moeten zijn (met andere woorden dat je breuk vereenvoudigd moet zijn)
Dat lijkt logisch maar je zal het niet bewijzen zonder dat expliciet te vermelden en te gebruiken. :wink:


Stel LaTeX met p en q onderling ondeelbaar is een oplossing van je veeltermvergelijking


vermeningvuldig de gelijkheid nu met q^n

je bekomtLaTeX

Nul is deelbaar door alles, dus ook door p. Dus p deelt het linkerlid. Maar het is duidelijk dat p ook alle termen op de laatste na deelt (p komt erin voor)
Dus p deelt ook LaTeX
Maar p is onderling ondeelbaar met q en dus ook met LaTeX , dus p deelt LaTeX
Analoog voor q....


Ik wil even opmerken dat alsLaTeX , je dus bekomt dat de noemer 1 moet zijn, de wortel is dus geheel.
Anders geformuleerd : de wortels van een rationale veelterm met als hoogstegraadscoefficiŽnt 1, zijn ofwel geheel of irrationaal (maar dus niet rationaal zonder geheel)

Oei, TD is me voor... maar ik heb een algemener bewijs, plus een toepassing.. en dus misschien ook het laatste woord :) of niet? :wink:

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 september 2006 - 16:41

Oei, TD is me voor... maar ik heb een algemener bewijs, plus een toepassing.. en dus misschien ook het laatste woord :)  of niet? :wink:

Algemener? Vragensteller vroeg voor vierde graad en lees niet over m'n laatste zin heen 8)

"Het is ook duidelijk dat het bewijs niet beperkt is tot 4, dit kan ook makkelijk algemeen met maximale macht n."

De toepassing heb je wel, jij krijgt het laatste woord! (eh, of toch niet...) :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

The Crazy Noob

    The Crazy Noob


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 september 2006 - 17:42

Jep, zo had ik het ook opgelost (de tweede methode) maar ik vond dat nogal simpel daarom dat ik het hier nog eens vroeg.
Ik twijfelde aan het volgende: hoe weet je dat bijvoorbeeld bij:LaTeX , als je de p naar links brengt, de deling van a0q4 met p een geheel getal geeft? Is dat gewoon altijd zo?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 september 2006 - 20:25

Het quotiŽnt staat toch rechts?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures