Dat kan ik niet.
Beschouw
\(x^4-1=0\)
\(1=\frac{171}{171}\)
waarbij de teller niet -1 deelt. 8)
Je bent vergeten erbij te zeggen dat p en q onderling ondeelbaar moeten zijn (met andere woorden dat je breuk vereenvoudigd moet zijn)
Dat lijkt logisch maar je zal het niet bewijzen zonder dat expliciet te vermelden en te gebruiken.
Stel
\(x=\frac{p}{q} \)
met p en q onderling ondeelbaar is een oplossing van je veeltermvergelijking
vermeningvuldig de gelijkheid nu met q^n
je bekomt
\( a_n p^n +a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots a_1 p q^{n-1}+a_0 q^n=0\)
Nul is deelbaar door alles, dus ook door p. Dus p deelt het linkerlid. Maar het is duidelijk dat p ook alle termen op de laatste na deelt (p komt erin voor)
Dus p deelt ook
\(a_0 q^n\)
Maar p is onderling ondeelbaar met q en dus ook met
\(q^n\)
, dus p deelt
\(a_0\)
Analoog voor q....
Ik wil even opmerken dat als
\( a_n=1\)
, je dus bekomt dat de noemer 1 moet zijn, de wortel is dus geheel.
Anders geformuleerd : de wortels van een rationale veelterm met als hoogstegraadscoefficiënt 1, zijn ofwel geheel of irrationaal (maar dus niet rationaal zonder geheel)
Oei, TD is me voor... maar ik heb een algemener bewijs, plus een toepassing.. en dus misschien ook het laatste woord
of niet?
