Springen naar inhoud

Beweging onder invloed van een centraalkracht


  • Log in om te kunnen reageren

#1

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 07 september 2006 - 09:54

De volgende differentaalvgl krijgt men als men de (planeet of satelliet)baan tracht te berekenen onder de invloed van een centraalkracht LaTeX :
LaTeX .
E(energie), m(massa) en h zijn constanten. De oplossing zou er moeten komen in poolcoŲrdinaten LaTeX . De oplossing kan zie ik gebeuren door scheiding van de variabelen. Maar de integraal?
De oplossing zou een kegelsnede moeten geven LaTeX waarbij LaTeX uitgedrukt worden in de constanten natuurlijk.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 september 2006 - 12:12

Ongeveer deze vraag kreeg ik in m'n eerste jaar als examenvraag op het mondeling examen mechanica: afleiden van de ellipsvormige baan uit een omgekeerd kwadratisch verband (Kepler). Helaas liggen m'n nota's in Brussel en is m'n geheugen niet meer goed genoeg om dat te reproduceren. Op eigen houtje een nieuwe poging gedaan, maar ik herinner me dat de uitwerking op het examen korter was...

LaTeX

Door te integreren vinden we LaTeX zodat na inversie LaTeX .

LaTeX

Nu ga ik over op de variabele 1/r; die ik y zal noemen:

LaTeX

In die laatste stap heb ik het volkomen kwadraat gevormd, ik vervang mh≤ door q voor het gemak:

LaTeX

Intermezzo om dat kwadraat wat te vereenvoudigen:

LaTeX

Nu nog even een nieuwe variabele z en we integreren eenvoudig:

LaTeX

Opmerking: ik heb gezondigd tegen de wiskundige subtiliteit LaTeX maar vermits dat enkel invloed heeft op het teken zal dat het resultaat van de kegelsnede verder niet beÔnvloeden, het is alleen lastiger schrijven. Ik neem nu C = 0 en substitueer terug:

LaTeX

Een beetje algebraÔsch rekenwerk, oplossen naar y:

LaTeX

Maar y was ook 1/r; dus omkeren en we hebben r:

LaTeX

Neem nu:

LaTeX

En we krijgen:

LaTeX

Het zou kunnen dat die constanten niet kloppen door reken en/of denkfouten, maar de (of "een") strategie staat er...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 07 september 2006 - 12:30

Dat staat in die boek als een fluitje van een cent, natuurlijk zonder afleiding. Bedankt in ieder geval. Je begrijpt dat ik dat nog even moet bestuderen.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 september 2006 - 12:35

Als ik ooit de versie uit m'n cursus nog eens tegenkom (en als deze eenvoudiger blijkt), dan laat ik die ook wel zien.
Voorlopig kan ik daar nog niet aan, dus zul je het hiermee (of met nieuwe replies?) moeten doen.

Als je vragen hebt over bepaalde stappen, ga je gang natuurlijk.

Het is vooral door die vele constanten dat het wat schrijfwerk is en dat het wat ingewikkelder lijkt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 september 2006 - 12:52

Dat kan misschien iets eenvoudiger, maar ik moet natuurlijk opletten als ik TD tegenspreek

Definieer eerst het impulsmomentLaTeX

LaTeX

Definieer nu de excentriciteitsvectorLaTeX

LaTeX

dit is niet zomaar een onbegrijpbare vector, merk op dat hij in het vlak loodrecht op LaTeX staat, dus in het vlak van de elliptische beweging

noem nu LaTeX de hoek tussen LaTeX enLaTeX

We vinden :

LaTeX

of dusLaTeX

dit oplossen naar r geeft onmiddellijk :

LaTeX

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 september 2006 - 12:58

Dat kan misschien iets eenvoudiger, maar ik moet natuurlijk opletten als ik TD tegenspreek

Opletten? :) Tegenspreken? :) Het kon zeker eenvoudiger en aanvullingen zijn welkom, dat gaf ik ook al aan...

Jouw methode kwam ik ook online ergens (min of meer) tegen (ttz via L en R), maar omdat kotje naar de integraal vroeg ben ik maar daaraan gaan (letterlijk) prutsen :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 07 september 2006 - 18:42

Beste TD! ik ben even je redenering nagegaan en die is duidelijk te volgen( voor mij zijt ge een as in het oplossen van integralen). Wat de algebraÔsche berekeningen betreft heb ik niet volledig nagetrokken maar ik zie toch in de eccentriciteit E de totale energie en dat is positief. Als E<0 dan ellips LaTeX ,E=0 dan parabool LaTeX en E>0 dan hyperbool LaTeX . Ge zult misschien denken hoe kan de totale energie E nu negatief zijn, wel dit is omdat we voor de potentiŽle energie LaTeX het referentiepunt op oneindig leggen en dit 0 noemen.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 september 2006 - 18:51

Ik heb mijn berekeningen toen ook niet zorgvuldig nagelezen, maar ik vond bij een snel overzicht niet direct een fout.
Natuurlijk lees je snel over je eigen fouten heen, maar ik denk dat het hier toch vooral om de methode ging - je kunt het nu eventueel zelf (wat uitgebreider) uitschrijven.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 07 september 2006 - 18:59

Beste evilbu;

Voor de impulsmomentvector denk ik dat ge nog moet vermenigvuldigen met de massa voorwerp(kleine fout).
LaTeX waar de dot een afgeleide naar de tijd wil zeggen.

Wat die ex©centriciteitsvector LaTeX betreft daar heb ik nog niet van gehoord. Ook op internet vindt ik daar niets van?
De rest van de redenering is wel te volgen.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#10

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 september 2006 - 19:41

Beste evilbu;

Voor de impulsmomentvector denk ik dat ge nog moet vermenigvuldigen met de massa voorwerp(kleine fout).
LaTeX

waar de dot een afgeleide naar de tijd wil zeggen.

Je hebt GELIJK.
Het moest zijn zoals je zei.


Ik heb het even nagerekend en als ik mijn definitie van L verander komt alles uit.
Je moet weten dat die constanten en grootheden sterk variŽren.

Bij jou isLaTeX
maar sommigen nemen een andere definitie zodat daar geen m staat. In principe kan je dit alles doen zonder ergens de massa te moeten vermelden, want de beweging van een satelliet rond de zon en dergelijke hangt totaal niet af van zijn massa (behalve als je een verschrikkelijke purist ben en de satelliet zelf als een soort kleine planeet begint te zien).



Wat die ex©centriciteitsvector LaTeX

betreft daar  heb ik nog niet van gehoord. Ook op internet vindt ik daar niets van?
De rest van de redenering is wel te volgen.

Ze geraken er blijkbaar niet uit wie dit heeft uitgevonden, want hij wordt ook wel eens de Laplace-Runge-Lentz vector genoemd :
http://en.wikipedia....nge-Lenz_vector

LET OP, hun k is niet hetzelfde als jouw K (en dat heeft weeral met die massa te maken)

Wat ik vergeten ben (en dat is nodig en juist de essentie) is dat die excentriciteitsvector een constante is, leid hem es af naar de tijd en werk dat volledig uit, je zal nul uitkomen.(mooie oefening! :) )

Essentieel is het een vector die wijst van het brandpunt (de zon) naar het punt waar de afstand het kleinst wordt( het zogenaamde "perihelium")
Ook over zijn lengte kan ik een aantal interessante zaken zeggen als je wil
(ik ben nogal een ruimtevaart fan dus ik hou me daar en toe mee bezig)

#11

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 07 september 2006 - 21:37

Je benadering met de Laplace-Runge-Lenz vector, die nogal ad hoc gedefinieerd wordt, zal zeker na een eerste kennismaking dezelfde resultaten opleveren nu ik ook zie dat de totale energie opduikt. Ge moet toegeven dat zekere resultaten zo maar opgeschreven worden. Ik moet echter toegeven dat de methode er formeler uitziet en op veel meer gebieden kan worden toegepast. Voor mij is de interesse voor planeten- en satelietbanen maar van voorbijgaande aard. Ik dank je in ieder geval voor de moeite, zolang de belangeloze interesse niet weg is zijn we nog niet oud zeg ik altijd. :wink:
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 september 2006 - 10:11

Misschien nog een toevoeging voor die dv/integraal, die kan algemener gehouden worden via bijvoorbeeld:

LaTeX

Hierin is V® nu de functie voor de potentiŽle energie, te vervangen door bvb: -k/r, -k/r≤, -k/r≥, ...

Wat het andere verhaal betreft, merk op dat L een constante vector in de tijd is, vermits L = dM/dt en M hier 0 is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 08 september 2006 - 11:40

Wat het andere verhaal betreft, merk op dat L een constante vector in de tijd is, vermits L = dM/dt en M hier 0 is


Heb ik toch mijn bedenkingen bij. De richting en zin wel loodrecht op het vlak waarin de planeet beweegt, maar de grootte plaatsvector r en snelheid v zijn toch niet constant dus (misschien) hun vectorieel product ook niet. De oppervlakte die per tijdseenheid beschreven wordt is dan terug een constante.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#14

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 september 2006 - 11:46

Zowel LaTeX als de excentriciteitsvector LaTeX zijn wel degelijk constante vectoren, leid ze af naar de tijd en je vindt nul.


Dit is zoals ik al zei een mooie oefening (je zal er wat aan hebben)

Hou hierbij in gedachten dat :
LaTeX

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 september 2006 - 12:53

Vermits:

LaTeX

Geeft:

LaTeX

Maar aangezien

LaTeX

Is L constant in de tijd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures