Springen naar inhoud

Hyperbolische functies


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 10 november 2004 - 12:53

howdy!

Ik moet voor wiskunde een werk maken over hyperbolische functies.
We weten dan sinh x= (e^x-e^(-x))/2, maar kan iemand me dat bewijs leveren?

dbv, gast

ps: ook wiskundige cartoons (als het kan over hyperbolische functies) zijn welkom

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 november 2004 - 13:12

Wat wil je precies? Het bewijs dat sinh een hyperbolische functie is (definitie!), of het bewijs dat sinh x= (e^x-e^(-x))/2 ?

Voor dat laatste kan je gebruiken dat je sin x in termen van e-machten kunt schrijven... Of je kan rommelen met de formele reeksontwikkelingen, maar dat is veel meer schrijfwerk...
Never underestimate the predictability of stupidity...

#3


  • Gast

Geplaatst op 10 november 2004 - 15:03

Zou je mij kunnen uitleggen wat je bedoelt met sinx in e-machten schrijven. Dit is mijn enige optie, want reeksen hebben we nog niet gezien (rijen wel, maar dat is niet hetzelfde (denk ik ))

#4

carbis

    carbis


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 november 2004 - 16:36

Sinh[x] is per definitie (e^x-e^(-x))/2.

#5


  • Gast

Geplaatst op 11 november 2004 - 11:03

Ik weet dat sinhx = (e^x-e^-x)/2.
Ik wil dit bewijzen !

#6

einstone

    einstone


  • >100 berichten
  • 166 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2004 - 11:12

een definitie hoef je niet te bewijzen,
je moet hoogstens zeggen waarom je het zo mag definiŽren

#7

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 november 2004 - 11:34

Ik weet dat sinhx = (e^x-e^-x)/2.
Ik wil dit bewijzen !

Daar valt niks aan te bewijzen, (ex-e-x)/2 is de definitie van sinh(x).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#8

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 november 2004 - 11:43

Zou je mij kunnen uitleggen wat je bedoelt met sinx in e-machten schrijven. Dit is mijn enige optie, want reeksen hebben we nog niet gezien (rijen wel, maar dat is niet hetzelfde (denk ik ))

Misschien bedoelde je dit:

sin(x) = x1/1! - x3/3! + x5/5! - x7/7! + etc..

cos(x) = x0/0! - x2/2! + x4/4! - x6/6! + etc..

en ex = Σn=0..oo(xn/n!) = 1 + x + x2/2! + x3/3! + etc...

Door wat met die reeksen te knutselen (vooral in combinatie met complexe waarden voor x) kun je soms aan nuttige inzichten komen, maar dat gaat in dit geval niet op. Althans, ik ken geen ontwikkeling van sinh(x) die niet zelf al op (ex-e-x)/2 is gebaseerd.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#9


  • Gast

Geplaatst op 11 november 2004 - 21:09

Ik zie hier meerdere keren staan dat (exp(x)-exp(-x))/2 de definitie van sinh(x) is. Dit is juist.
Maar wat ook vaak als definitie wordt gegeven is
sinh(x)=x+(x^3)/3!+(x^5)/5! ... + (x^2n)/(2n)! + ...

Uit de het ene kan je het andere afleiden.
Je hebt te maken met equivalente definities.

Wat je voor werkstuk zou kunnen maken is hoe je zou kunnen bewijzen dat de definities gelijk zijn. Dit houdt in uit de ene definitie de andere afleiden en uit de andere de ene (het moet beide kanten uit, want anders is er geen sprake van equivalentie!!!)

#10

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2004 - 21:35

Ook leuk is wellicht dat sinh(i x)= i sin(x).

#11


  • Gast

Geplaatst op 13 november 2004 - 19:25

een definitie hoef je niet te bewijzen,
je moet hoogstens zeggen waarom je het zo mag definiŽren


precies, al is dat in dit geval duidelijk. bovenstaande relatie met de sinus-functie is ook aardig.

#12


  • Gast

Geplaatst op 20 november 2004 - 12:46

bedankt allemaal voor de boeiende inzichten !

#13


  • Gast

Geplaatst op 20 november 2004 - 14:36

Ik zie hier meerdere keren staan dat (exp(x)-exp(-x))/2 de definitie van sinh(x) is. Dit is juist.
Maar wat ook vaak als definitie wordt gegeven is
sinh(x)=x+(x^3)/3!+(x^5)/5! ... + (x^2n)/(2n)! + ...

Uit de het ene kan je het andere afleiden.
Je hebt te maken met equivalente definities.

Wat je voor werkstuk zou kunnen maken is hoe je zou kunnen bewijzen dat de definities gelijk zijn. Dit houdt in uit de ene definitie de andere afleiden en uit de andere de ene (het moet beide kanten uit, want anders is er geen sprake van equivalentie!!!)


Wat verder een derde equivalente definitie is is dat de cosh de oplossing is van de volgende differentiaal vergelijking
f''[x]=f[x]
met randvoorwaarden
f'[0]=0
f[0]=1

en dan de sinh de oplossing is van de differentiaalvergelijking
f''[x]=f[x]
dezelde differentiaal vergelijking, maar met andere randvoorwaarden:
f'[0]=1
f[0]=0

Bewijs dus dat de drie definities:
1) reeks
2) e-machten
3) differentiaalvergelijking
equivalent met elkaar zijn

Hint: dit hoeft niet twee aan twee in de zin van dat je (1)<->(2),
(2)<->(3) en (1)<->(3) allemaal bewijst, maar je kan ook een cirkel doen
Bewijs bijvoorbeeld (1)->(2)->(3)->(1)

#14


  • Gast

Geplaatst op 20 november 2004 - 23:30

Howdy!

Ik moet voor wiskunde een werk maken over hyperbolische functies.
We weten dan sinh x= (e^x-e^(-x))/2, maar kan iemand me dat bewijs leveren?


Hopelijk heb je hier iets aan:

De cosh x ontstond waarschijnlijk uit het rekenen met complexe getallen. De functie cos(ix) is een complexe cosinusfunctie. Echter, deze functie heeft geen normaal cosinusverloop: de functie heeft een grafische vorm die aan een gewone hyperbool doet denken. De functie werd de naam cosinus hyperbolicus x gegeven. Dus cosh x = cos(ix). De gewone sinus-en cosinusfunctie kan je uitdrukken in functie van het getal e. In een poging om van daaruit vertrekkend cos(ix) in functie van e te schrijven, bereik je de definitieformule van cosh x! Min of meer analoog voor sinh x.

Groet, Jo





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures