De shell integraal

kotje

Los op

\(\int_{\theta=0}^{\pi}\frac{(r-a\cos{\theta})\sin{\theta}}{(a^2+r^2-2ar\cos{\theta)^\frac{3}{2}}}d\theta\)

hierin zijn a en r positieve constanten.

Los op voor zowel r>a en r<a.

EvilBro

\(\int \frac{(r-a\cos{\theta})\sin{\theta}}{(a^2+r^2-2 a r\cos{\theta)^\frac{3}{2}}} d\theta = -\int (r-a\cos{\theta}) (a^2+r^2-2 a r\cos{\theta)^{-\frac{3}{2}}} d(\cos \theta) = \int (a t-r) (a^2+r^2-2 a r t)^{-\frac{3}{2}}} dt\)

\(f(t) = (a t - r) \rightarrow f'(t) = a\)

\(g'(t) = (a^2+r^2-2 a r t)^{-\frac{3}{2}}} \rightarrow g(t) = \frac{1}{a r} (a^2+r^2-2 a r t)^{-\frac{1}{2}}}\)

Partieel integreren:

\(\int (a t - r) (a^2+r^2-2 a r t)^{-\frac{3}{2}}} dt = \left[ (a t - r) \frac{1}{a r} (a^2+r^2-2 a r t)^{-\frac{1}{2}}} \right] - \int a \frac{1}{a r} (a^2+r^2-2 a r t)^{-\frac{1}{2}}} dt \)

\( = \frac{1}{a r} \left[ (a t - r) (a^2+r^2-2 a r t)^{-\frac{1}{2}}} \right] - \frac{1}{r} \int (a^2+r^2-2 a r t)^{-\frac{1}{2}}} dt \)

\( = \frac{1}{a r} \left[ (a t - r) (a^2+r^2-2 a r t)^{-\frac{1}{2}}} \right] - \frac{1}{r} \left[ -\frac{1}{a r} (a^2+r^2-2 a r t)^{\frac{1}{2}}} \right] \)

\( = \frac{1}{a r} \left[ (a t - r) (a^2+r^2-2 a r t)^{-\frac{1}{2}}} \right] + \frac{1}{a r^2} \left[ (a^2+r^2-2 a r t)^{\frac{1}{2}}} \right] \)

\( = \frac{1}{a r^2} \left[ \frac{(a r t - r^2)}{\sqrt{a^2+r^2-2 a r t}} \right] + \frac{1}{a r^2} \left[ \frac{a^2+r^2-2 a r t}{\sqrt{a^2+r^2-2 a r t}} \right] = \frac{1}{a r^2} \left[ \frac{a^2- a r t}{\sqrt{a^2+r^2-2 a r t}} \right]\)

\(= \frac{1}{r^2} \left[ \frac{a- r t}{\sqrt{a^2+r^2-2 a r t}} \right]\)

Invullen:

\(\frac{1}{r^2} \left( \frac{a- r (-1)}{\sqrt{a^2+r^2-2 a r (-1)}} \right) - \frac{1}{r^2} \left( \frac{a- r (1)}{\sqrt{a^2+r^2-2 a r (1)}} \right)\)

\(= \frac{1}{r^2} \left( \frac{a+ r}{\sqrt{a^2+r^2+2 a r }} \right) - \frac{1}{r^2} \left( \frac{a- r }{\sqrt{a^2+r^2-2 a r }} \right)\)

\(= \frac{1}{r^2} \left( \frac{a+ r}{\sqrt{(a+r)^2}} \right) - \frac{1}{r^2} \left( \frac{a- r }{\sqrt{(a-r)^2}} \right) = \frac{1}{r^2} \left( \frac{a+ r}{|a+r|} \right) - \frac{1}{r^2} \left( \frac{a- r }{|a-r|} \right) \)

a en r zijn positief, dus:

\(= \frac{1}{r^2} \left( \frac{a+ r}{a+r} \right) - \frac{1}{r^2} \left( \frac{a- r }{|a-r|} \right) = \frac{1}{r^2} - \frac{1}{r^2} \left( \frac{a- r }{|a-r|} \right) \)

Als a>r dan is a-r positief:

\(\frac{1}{r^2} - \frac{1}{r^2} \left( \frac{a- r }{|a-r|} \right) = \frac{1}{r^2} - \frac{1}{r^2} \left( \frac{a- r }{a-r} \right) = 0\)

Als a<r dan is a-r negatief:

\(\frac{1}{r^2} - \frac{1}{r^2} \left( \frac{a- r }{|a-r|} \right) = \frac{1}{r^2} + \frac{1}{r^2} \left( \frac{a- r }{a-r} \right) = \frac{2}{r^2}\)

Dolle pret...

TD

Ik zag bij EvilBro "bericht plaatsen", goed gegokt dat het hier was en dan zelf maar niet met LaTeX beginnen knoeien. Ik vind (gelukkig) wel hetzelfde.

@kotje: ben je zeker dat dit een "shell integraal" heet? Ik heb er nog nooit van gehoord, google ook niet en "shell integral" verwijst voor zover ik gekeken heb naar andere dingen...

kotje

Ik heb hem zelf zo genoemd( ik moet toch een naam geven), omdat hij voorkomt in oplossen van een probleem bij de aantrekking van een bolshellmassa(massa per eenheid van oppervlak op een bol gelegen) op een massa erbinnen of erbuiten. Als men de massa erbinnen legt is de aantrekking 0, als de massa erbuiten ligt zal de uitkomst ook wel kloppen en is de aantrekking dezelfde alsof de totale massa ligt als puntmassa in het middelpunt van de bol.

Ik vind echter de afleiding wat lang(wel juist). Ik vind dat de noemer goed trekt op de cosinusregel misschien is daar wel iets mee te doen. Ik weet dat er hier assen zitten om integralen op te lossen, daarom heb ik hem maar geplaatst. Maar als ik goesting heb zal ik even kijken als het niet korter kan. Misschien zijt ge mij al voor.

TD

Ik heb hem zelf zo genoemd( ik moet toch een naam geven)

Dat verklaart al veel en neemt de verwarring weg

PeterPan

De onbepaalde integraal

\(\int \frac{(r-a\cos{\theta})\sin{\theta}}{(a^2+r^2-2 a r\cos{\theta)^\frac{3}{2}}} d\theta\)

is eenvoudig te berekenen.

Partieel integreren geeft

\(\int \frac{(r-a\cos{\theta})\sin{\theta}}{(a^2+r^2-2 a r\cos{\theta)^\frac{3}{2}}} d\theta = \int \frac{r-a\cos{\theta}}{-ar} d (a^2+r^2-2 a r\cos{\theta)^\frac{-1}{2} \)

= een uitdrukking - constante.

\(\int \frac{\sin{\theta}}{(a^2+r^2-2 a r\cos{\theta)^\frac{1}{2}}} d\theta \)

Van dit ding weten we de primitieve (simpel).

kotje

Ik kan PeterPan in het begin wel volgen, maar waar hij naar toe wil begrijp ik niet.

Ik probeer ook even:

\(\int_{\theta=0}^{\pi}\frac{(r-a\cos{\theta})\sin{\theta}}{(a^2+r^2-2ar\cos{\theta)^\frac{3}{2}}}d\theta\)

waarbij r en a>0

Ik stel

\(w^2=a^2+r^2-2ar\cos{\theta}\)

w is de zijde van een driehoek.

\(\theta=0\)

w²=a²+r²-2ar=(r-a)²

1) r>a w=r-a

\(\theta=\pi w^2=(r+a)^2 w=r+a\)

\(2wdw=2ar\sin{\theta} d\theta\)

\(r-a\cos{\theta}=r-a\left(\frac{a^2+r^2-w^2}{2ar}\right)=\frac{w^2+r^2-a^2}{2r}\)

invullen en wat rekenen geeft:

\(\frac{1}{2ar^2}\int_{(r-a)}^{(r+a)}(1-\frac{r^2-a^2}{w^2}) dw=\frac{2}{r^2}\)

2) r<a w=a-r

\(\frac{1}{2ar^2}\int_{(a-r)}^{(a+r)}\left(1-\frac{(a^2-r^2)}{w^2}\right) dw=0\)

PeterPan

\(\int \frac{(r-a\cos{\theta})\sin{\theta}}{(a^2+r^2-2 a r\cos{\theta)^\frac{3}{2}}} d\theta = \int \frac{r-a\cos{\theta}}{-ar} d (a^2+r^2-2 a r\cos{\theta)^\frac{-1}{2} \)

=

\(\frac{r-a\cos{\theta}}{-ar} (a^2+r^2-2 a r\cos{\theta)^\frac{-1}{2} + \frac{1}{r} \int \frac{\sin{\theta}}{(a^2+r^2-2 a r\cos{\theta)^\frac{1}{2}}} d\theta \)

=

\(\frac{r-a\cos{\theta}}{-ar} (a^2+r^2-2 a r\cos{\theta)^\frac{-1}{2} + \frac{1}{ar^2} (a^2+r^2-2 a r\cos{\theta)^\frac{1}{2} \)

Dan nog de grenzen 0 en

invullen.

Dat geeft als uitkomst (1 + sgn(r-a))/r²

kotje

Ik zie geen fout. Met sgn(r-a) bedoelt ge 1 als r>a en -1 als r<a hoogstwaarschijnlijk. Dit is werkelijk zeer kort voor zo'n moeilijk geval.

PeterPan

Ik zie geen fout. Met sgn(r-a) bedoelt ge 1 als r>a en -1 als r<a hoogstwaarschijnlijk. Dit is werkelijk zeer kort voor zo'n moeilijk geval.

Bijna,

sgn(x) = 1 als x>0,

sgn(x) = -1 als x<0,

sgn(x) = 0 als x=0.

EvilBro

sgn(x) = 0 als x=0.

Bestaat de integraal eigenlijk wel als r=a? (en zo ja, hoe zie je dit dan?)

PeterPan

Bestaat de integraal eigenlijk wel als r=a? (en zo ja, hoe zie je dit dan?)

Als a=r, dan

\(\int_{\theta=0}^{\pi}\frac{(r-a\cos{\theta})\sin{\theta}}{(a^2+r^2-2ar\cos{\theta)^\frac{3}{2}}}d\theta\)

=

\(\int_{\theta=0}^{\pi}\frac{(r-r\cos{\theta})\sin{\theta}}{(2r^2-2r^2\cos{\theta)^\frac{3}{2}}}d\theta\)

=

\(\frac{r}{(2r^2)^(3/2)}\int_{\theta=0}^{\pi}\frac{(1-\cos{\theta})\sin{\theta}}{(1-\cos{\theta)^\frac{3}{2}}}d\theta\)

=

\(\frac{1}{2\sqrt{2} r^2}\int_{\theta=0}^{\pi}\frac{\sin{\theta}}{(1-\cos{\theta)^\frac{1}{2}}}d\theta\)

=

\(\left[ \frac{\sqrt {1 - \cos{\theta}}}{\sqrt{2} r^2} \right]_0^\pi \)

TD

Ik zie geen fout. Met sgn(r-a) bedoelt ge 1 als r>a en -1 als r<a hoogstwaarschijnlijk. Dit is werkelijk zeer kort voor zo'n moeilijk geval.

Zie ook hier voor de teken- of signumfunctie.

EvilBro

Als a=r, dan ...

Ik doelde meer op dat de noemer van de breuk nul kan worden als a=r. Hoe kom je er achter dat dit geen problemen oplevert?

PeterPan

PeterPan schreef:Als a=r, dan ...
Ik doelde meer op dat de noemer van de breuk nul kan worden als a=r. Hoe kom je er achter dat dit geen problemen oplevert?

De noemer is slechts nul in het randpunt 0. Dus de integrand is goed gedefinieerd in het interval (0, [rr] ).

Er is dan sprake van een oneigenlijke integraal.

\(\int_0^\pi = \lim_{x \downarrow 0} \int_x^\pi\)

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

De shell integraal

De shell integraal

Re: De shell integraal

Re: De shell integraal

Re: De shell integraal

Re: De shell integraal

Re: De shell integraal

Re: De shell integraal

Re: De shell integraal

Re: De shell integraal

Re: De shell integraal

Re: De shell integraal

Re: De shell integraal

Re: De shell integraal

Re: De shell integraal

Re: De shell integraal