Springen naar inhoud

[Wiskunde] DifferentiŽren


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Hoogvlieger

    Hoogvlieger


  • >250 berichten
  • 267 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 september 2006 - 00:10

Onderzoek bij de volgende functies voor welke x ze wel gedefinieerd, maar niet differentieerbaar zijn:

a) LaTeX

b) LaTeX

c) LaTeX

Mijn vraag nu, wanneer is een functie wel gedefinieerd, maar niet differentieerbaar? Ofwel, wat houd dit precies in? En hoe moet je dan bij bovenstaande functies te werk gaan?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9904 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 september 2006 - 09:01

Onderzoek bij de volgende functies voor welke x ze wel gedefinieerd, maar niet differentieerbaar zijn:  

a) LaTeX



b) LaTeX

c) LaTeX

Mijn vraag nu, wanneer is een functie wel gedefinieerd, maar niet differentieerbaar? Ofwel, wat houd dit precies in? En hoe moet je dan bij bovenstaande functies te werk gaan?

Bij a) is niets aan de hand, want |x≤+1|=x≤+1 voor alle reŽle x. (Eens?)
Bij b) is er wel een omslagpunt, immers:
LaTeX voor x>=0 en
LaTeX voor x<0.
Dit betekent dat de afgeleiden voor x<0 en x>0 niet dezelfde functie opleveren en in het bijzonder bestaat de afgeleide voor x=0 niet. (Begrijp je dit laatste?)
Bij c) moet duidelijk zijn dat de functie (domein x>=0) 0 is voor x=0 maar dat de afgeleide niet gedefinieerd is voor x=0. (Eens?)

In 't algemeen moet je dus kijken naar de bijzondere ptn in het domein van de functie en zijn afgeleide. Bij een absolute waarde is dit natuurlijk het geval bij het 'omslagpunt'.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 september 2006 - 09:10

Mijn vraag nu, wanneer is een functie wel gedefinieerd, maar niet differentieerbaar? Ofwel, wat houd dit precies in? En hoe moet je dan bij bovenstaande functies te werk gaan?

Een functie is gedefinieerd voor alle argumenten (x-waarden) uit zijn domein. Wanneer dat niet gegeven wordt, bedoelt men meestal impliciet het "natuurlijke" of "maximale domein", dwz de grootst mogelijke deelverzameling van [rr] waarvoor f een reŽle waarde aanneemt.
Differentieerbaar wil precies zeggen: de afgeleide bestaat. Indien de afgeleide in een punt bestaat, is de functie daar differentieerbaar. Geldt dit voor alle punten in een interval, dan is de functie differentieerbaar over dat interval.

Zoals Safe al aangaf is het voor dit laatste nodig om de "bijzondere punten" na te gaan; eenvoudig voorbeeld: f(x) = |x|, de absolute waarde functie (niet differentieerbaar in x = 0 want linker- en rechterafgeleide verschillen er).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

Hoogvlieger

    Hoogvlieger


  • >250 berichten
  • 267 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 september 2006 - 13:45

[i]en in het bijzonder bestaat de afgeleide voor x=0 niet. (Begrijp je dit laatste?)


Omdat e^0 = 1 en de afgeleide van 1 is 0?

Verder bedankt voor jullie reacties, ik ga ze nog eens goed doornemen.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 september 2006 - 13:48

Begrijp je het verschil tussen de linker- en rechterafgeleide?

Als je rechts van 0 komt (dus x>0), dan is |x| = x, dus f(x) = exp(x) met f'(x) = exp(x).
Naderend van rechts vinden we in x = 0 dus als afgeleide exp(0) = 1.
Als je links van 0 komt (dus x<0), dan is |x| = -x, dus f(x) = exp(-x) met f'(x) = -exp(-x).
Naderend van links vinden we in x = 0 dus als afgeleide -exp(-0) = -1.

Deze zijn verschillend, dus "de afgeleide" bestaat er niet, f(x) is er niet afleidbaar.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Hoogvlieger

    Hoogvlieger


  • >250 berichten
  • 267 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 september 2006 - 13:59

Begrijp je het verschil tussen de linker- en rechterafgeleide?


Nu wel (hoop ik). Dit is dus hetzelfde principe als bij LaTeX dan bestaat de limiet niet?

#7

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 september 2006 - 14:12

Dit is dus hetzelfde principe als bij LaTeX

dan bestaat de limiet niet?

Correct. Niet zo vreemd natuurlijk als je je bedenkt dat de definitie van differentieerbaar in a is dat de volgende limiet bestaat:
LaTeX

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 september 2006 - 14:25

Inderdaad, als aanvulling even de definities:

- Rechterafgeleide:

LaTeX

- Linkerafgeleide:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures