imaginaire getallen

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 36

imaginaire getallen

ik studeer net als mijn vrind robert de complexe getallen maar kan me een imaginair getal moilijk voorstellen. Zon getallen komen toch nooit voor in de werkelijkheid. Zijn ze dan alleen toepasbar bij een negatieve vierkantswortelen en bij een macht van een negatief getal. [rr]

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: imaginaire getallen

De naam 'imaginair' is wat dat betreft nogal slecht gekozen, het zijn geen fantasiegetallen ofzo.

Hoewel de complexe getallen intuïtief misschien niet "voorkomen" in de werkelijkheid, blijken er toch fysische toepassingen te zijn.

Lees bijvoorbeeld het artikel over complexe getallen hier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 255

Re: imaginaire getallen

Voor de man in de straat komt zo een getal inderdaad nooit voort. Echter zijn er een aantal vakgebieden waar deze getallen wel van belang zijn.

Elektriciteit: Het gebruik van complexe getallen geeft hier faseinformatie van het signaal. BV 1 en i geven 2 wisselspanningen waarbij het faseverschil 90 graden is, dus bv een sinus en cosinus.

Ook worden weerstand (dan spreekt men impedantie) van spoelen en condensatoren een complex getal, ook hier heeft dit te maken met de fase van de signalen, namelijk dat het faseverschil tussen de stroom en de spanning 90 graden is.

Wil je nu 2 wisselspanningen optellen met verschillende fase, kun je gewoon de complexe getallen optellen en krijg je een complex getal waaruit je de grootte en fase van de som krijgt.

Wiskunde: door het gebruiken van complexe getallen kan je stelling bewijzen voor reele getallen die je anders niet zou kunnen bewijzen bv dat een reele veelterm van graad 3, minstens 1 reel nulpunt heeft.

Er zijn nog vele andere toepassingen maar dit waren de 2 eenvoudigste die direct in mij opkwamen

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: imaginaire getallen

Wiskunde: door het gebruiken van complexe getallen kan je stelling bewijzen voor reele getallen die je anders niet zou kunnen bewijzen bv dat een reele veelterm van graad 3, minstens 1 reel nulpunt heeft.
Het voorbeeld dat je aanhaalt kan ook zonder complexe getallen bewezen worden hoor.

Er bestaat wel een vrij 'elegante' argumentering hiervoor, mbv complexe getallen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 36

Re: imaginaire getallen

nu ik las dat de complexe getallen overeen kwamen met de punten op in een vlak welke getallen gebruik ik dan om bv een punt in 10 dimensionale iets te beschrijven.

Berichten: 36

Re: imaginaire getallen

bedankt trouwens voor de uitleg

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: imaginaire getallen

nu ik las dat de complexe getallen overeen kwamen met de punten op in een vlak welke getallen gebruik ik dan om bv een punt in 10 dimensionale iets te beschrijven.
In het algemeen kan je daar vectoren voor gebruiken. Voor een n-dimensionale reële ruimte kan je een vector gebruiken die bestaat uit n componenten, elk beschreven door een reëel getal. Nu is het inderdaad zo dat je een complex getal kan identificeren met een punt in een vlak, vandaar dat elk complex getal ook overeenkomt met een koppel (= geordend paar) van reële getallen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Re: imaginaire getallen

Er zijn heel veel integralen die niet te berekenen zijn zonder gebruik te maken van complexe getallen.

Je kunt de relatie reele getallen - complexe getallen vergelijken met

de situatie natuurlijke getallen - gehele getallen.

Ik bedoel dit:

Negatieve getallen komen in het dagelijks leven niet voor (uitzondering is misschien de termometer). Toch zijn we blij dat we bij berekeningen negatieve getallen kunnen gebruiken (al zijn de uitkomsten positieve getallen).

Zo is het ook met complexe getallen.

De reele nulpunten vinden van x3 + x + 2 = 0 zonder gebruik te maken van complexe getallen is misschien(???) wel mogelijk zonder complexe getallen, maar dat wordt dan wel heel lastig.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: imaginaire getallen

Er zijn heel veel integralen die niet te berekenen zijn zonder gebruik te maken van complexe getallen.
Inderdaad, in het bijzonder zelfs integralen van reële functies met een reëel resultaat - soms een pak eleganter te bepalen mbv complexe getallen en toepassingen daarvan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: imaginaire getallen

ik studeer net als mijn vrind robert de complexe getallen maar kan me een imaginair getal moilijk voorstellen. Zon getallen komen toch nooit voor in de werkelijkheid. Zijn ze dan alleen toepasbar bij een negatieve vierkantswortelen en bij een macht van een negatief getal. :)
Wat heel nuttig kan zijn, is je af te vragen hoe het met 'onze' getallen staat.

De zogenaamde 'natuurlijke' getallen vinden we al heel vroeg in onze geschiedenis.

Begrijpelijk want die hebben we 'nodig' om te kunnen tellen. Zo zijn daarmee de bewerkingen 'optellen' en 'aftrekken' ontstaan.

Maar hoe zit het met het getal 0. Een zeer bijzonder getal. Je moet maar eens zoeken wanneer dat in de geschiedenis is opgedoken. Dat heeft de techniek van het rekenen enorm beïnvloed.

Hoe zijn de negatieve getallen 'gevonden'?

En hoe de breuken?

Hoe de irrationale?

Die gehele verzameling zijn nu de reële getallen

De complexe getallen zijn vrij 'jong', ongeveer 500 jaar. Maar de 'constructie' daarvan ongeveer 200 jaar.

Nu zijn ze niet meer 'weg te denken', de natuurkunde van de elementaire deeltjes en hun onderlinge 'relaties' zou niet bestaan!!!

En dan moet je ook denken aan (bv) de electronenmicroscoop, de laser (dus de cd-speler) enz enz ... . Teveel om op te noemen.

Opm: "Zon getallen komen toch nooit voor in de werkelijkheid."

Wel in de 'werkelijkheid' van de wiskunde!!!

Berichten: 2.746

Re: imaginaire getallen

Inleiding:

Het is voldoende een denkbeeldige (imaginaire) oplossing, aangeduid met i (van "impossibele", onmogelijk) te definiëren van de vergelijking x2 = − 1. Men stelt dus: deze vergelijking heeft per definitie een oplossing, en deze oplossing wordt i genoemd. Door de reële getallen uit te breiden met dit denkbeeldige getal i, waarmee verder op de normale manier gerekend wordt, ontstaat de verzameling  van de complexe getallen. Deze uitbreiding bevat met i vanzelf ook alle veelvouden bi van i en bestaat daarmee uit alle uitdrukkingen van de vorm a + bi waarin a en b reële getallen zijn. Hiermee is het gewenste resultaat bereikt: binnen de complexe getallen is elke algebraïsche vergelijking oplosbaar.
bron: http://nl.wikipedia.org/wiki/Complex_getal

ik heb hierbij een bemerking. De auteur(s) suggereren hiermee dat er maar 1 oplossing is. Voldoet -i ook niet?

(dat eventjes om de ****** uit te hangen)

Re: imaginaire getallen

superslayer schreef:ik heb hierbij een bemerking. De auteur(s) suggereren hiermee dat er maar 1 oplossing is. Voldoet -i ook niet?

(dat eventjes om de ****** uit te hangen)
Dat suggereren ze niet. Ze zeggen dat x2 = -1 per definitie een oplossing heeft en die noemen we i. Het zou kunnen dat dan die vergelijking (gegeven dat i een oplossing is) nog 631 andere oplossingen heeft.

Übrigens, "bemerking" ist ein Germanismus. Je bedoelt denk ik "opmerking".

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: imaginaire getallen

superslayer schreef:ik heb hierbij een bemerking. De auteur(s) suggereren hiermee dat er maar 1 oplossing is. Voldoet -i ook niet?

(dat eventjes om de ****** uit te hangen)
Als aanvulling op het antwoord van Peterpan, je kan dit "probleem" (aan die definitie voldoet niet enkel i, maar ook -i, zodat je ze a priori niet kan 'onderscheiden) vermijden mbv de definitie die ook verderop in dat artikel wordt aangehaald.

Je voert de complexe getallen dan in als geordende reële paren en stelt dan het element (0,1) per definitie gelijk aan i, waarbij (0,-1) = -1*(0,1) -1*i = -i.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer