spiegelen in y = x

PeterPan

Op het domein [0, 1/e] is g met

e^g(x) = x^x

een inverteerbare functie met inverse f(x).

Bereken

\( \int_{-\frac{1}{e}}^0 f(x) dx\)

.

TD

\(\frac{{e^{ - 2} }}{4}\)

?

PeterPan

Helaas fout. Er zit natuurlijk een trucje achter.

TD

Helaas pindakaas blijkbaar, ik kwam aan dat antwoord via:

\(\left( {\frac{1}{e}} \right)^2 + \int\limits_0^{e^{ - 1} } {x\log x} dx = e^{ - 2} - \frac{3}{4}e^{ - 2} = \frac{{e^{ - 2} }}{4}\)

PeterPan

Correct. Ik had een rekenfoutje gemaakt.

TD

Geeft niks, nu kan ik weer rustig slapen

Had jij misschien een (ander) trucje in gedachte?

PeterPan

TD! schreef:Geeft niks, nu kan ik weer rustig slapen

Had jij misschien een (ander) trucje in gedachte?

Nee. Dit wat het trucje.

Blijkbaar iets te makkelijk.

TD

Toen ik de vraag oorspronkelijk las, leek het niet zo erg eenvoudig.

Het 'klonk' me althans ingewikkelder dan wat de oplossing achteraf bleek.

kotje

Zou je wat meer uitleg willen geven over dat trucje en zo het interesseert mij wel.

TD

Vertrekkend van de opgave, als:

\(e^{g\left( x \right)} = x^x \Leftrightarrow \log \left( {e^{g\left( x \right)} } \right) = \log \left( {x^x } \right) \Leftrightarrow g\left( x \right) = x\log x\)

Zodat het de functie y = x.log(x) betreft, die we bekijken voor x in [0,1/e].

Daar is er ook een inverse functie, die we impliciet kunnen schrijven als x = y.log(y).

Van die functie, die we f(x) noemen, zoeken we de volgende integraal:

\( \int_{-\frac{1}{e}}^0 f(x) dx\)

Probleem: we hebben de functie niet als y = f(x). Verduidelijkend plaatje:

Afbeelding

In het rood is g(x), in het blauw f(x) (er is wel "teveel" getekend natuurlijk).

Het te integreren gebied is in het rood aangeduid, maar door spiegelsymmetrie (inverse functies) is dit ook het gele gebied. Dat gele gebied is op zijn beurt precies het vierkant (waarvan de zijden lengte 1/e hebben; geel + groen), vermindert met het groene stuk. Dat groene stuk is gemakkelijk te bepalen, dat is precies de integraal van die rode curve van 0 tot 1/e, met een minteken. Het vierkant heeft oppervlakte (1/e)² zodat het gele, en dus ook het rode, gegeven wordt door:

\(\left( {\frac{1}{e}} \right)^2 + \int\limits_0^{e^{ - 1} } {x\log x} dx = e^{ - 2} - \frac{3}{4}e^{ - 2} = \frac{{e^{ - 2} }}{4}\)

kotje

Daar is er ook een inverse functie, die we impliciet kunnen schrijven als x = y.log(y).

Dit laatste had ik ook gevonden. Maar oplossing naar y faalt blijkbaar.

Ik kan de zaak volgen, als ge de grafieken hebt van de functies met welk programma tekent ge de grafiek van de impliciete functie?

TD

Dit is gemaakt in Derive. Exlpiciet oplossen naar y van x = y.log(y) is niet mogelijk.

kotje

Ik dank je voor jouw antwoord het was klaar en duidelijk. Ik begrijp nu ook dat wil ik mijn horizon verbreden in wiskunde ik mij een wiskundig programma moet aanschaffen. Zijn er geen goede in freeware te krijgen? Wat is de de prijs van Derive?

TD

Topprogramma's zoals Mathematica of Maple zijn erg duur, ook Matlab (vooral numerieke sterk) is erg bekend.

Derive is wat minder krachtig, maar voor 'alledaagse' toepassingen zeker toereikend en erg gebruiksvriendelijk.

Voor Derive, zie hier, waar ook een 30-dagen (gratis) probeerversie te downloaden is.

Goedkoop is het niet, maar er bestaat wel gratis alternatieven op het internet - maar die heb ik zelf nog niet geprobeerd.

eendavid

Gewoon even voor de fun: een minder elegante oplossing (:-)).

We hebben dus al gevonden dat

\(g(x)=x\ln(x)\)

hieruit:

\(I=\int_{-1/e}^0{f(x)dx}=\int_{1/e}^0{x\frac{d}{dx}(x\cdot \ln(x))dx}\)

wegens de substitutie x'=f(x) en

\(dx=\frac{dg}{dx'}dx'\)

(vermits x(x')=g(x'))

Partiële integratie geeft dan:

\(I=[x^2\cdot \ln(x)]^0_{1/e}-\int_{1/e}^0{x\cdot \ln(x)dx}=\frac{1}{e^2}+\int_0^{1/e}{x\cdot \ln(x)dx}\)

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

spiegelen in y = x

spiegelen in y = x

Re: spiegelen in y = x

Re: spiegelen in y = x

Re: spiegelen in y = x

Re: spiegelen in y = x

Re: spiegelen in y = x

Re: spiegelen in y = x

Re: spiegelen in y = x

Re: spiegelen in y = x

Re: spiegelen in y = x

Re: spiegelen in y = x

Re: spiegelen in y = x

Re: spiegelen in y = x

Re: spiegelen in y = x

Re: spiegelen in y = x