Springen naar inhoud

Wanneer is een functie integreerbaar?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

John Nash

    John Nash


  • >250 berichten
  • 536 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 september 2006 - 20:47

Wanneer is een functie integreerbaar?
Als die continu is ja, maar dat is niet afdoende aangezien er ook 'stap-functies' zijn die te integreren zijn.
Maar er zijn ook genoeg functies die niet integreerbaar zijn. Wat is nu de definitie voor wat een integreerbare functie is?

Voorbeeld van een niet integreerbare functie:
{f(x)= 2 for x=irrational
{f(x)= 0 for x=rational

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 september 2006 - 20:52

Goede vraag, helaas is er geen handig 'trucje' om dat direct te zien, het geldt inderdaad wel alvast voor (stuksgewijs) continue functies.
Afspraak: we hebben het hier waarschijnlijk over de klassieke Riemann-integraal, dus de vraag betreft Riemann-integreeerbaarheid.

Er zijn equivalente formuleringen hiervoor, een bekende is werken met boven- en ondersommen (resp U en L). Je definieert beide sommen en neemt de limiet voor de norm van de partitie (gemakkelijker: breedte van de intervallen) naar 0. Zo krijg je twee limieten die ik even U* en L* noem. Indien beide limieten bestaan, eindig zijn en voldoen aan U* = L*, dan is de functie Riemann-integreerbaar met als integraal precies die limiet, als f over het beschouwde interval begrensd is.

Indien dit laatste (begrensdheid op het interval waarover je integreert) niet voldaan is, kan er aan de eerste voorwaarde nog steeds voldaan zijn, maar dan hebben we het al over uitbreidingen van de Riemann-integraal (naar zogenaamde oneigenlijke integralen).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 september 2006 - 21:40

Een functie is integreerbaar op een interval als hij in hoogstens aftelbaar veel punten op dat interval discontinu is.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 september 2006 - 22:24

Dat klopt, al is het wat minder triviaal om dat netjes te bewijzen.
Bovendien is het in dit geval een implicatie, geen equivalentie.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 26 september 2006 - 09:58

Als f: [a,b] :) :?: begrensd is, dan is f Riemann integreerbaar dan en slechts dan als de verzameling van discontinuiteitspunten van f verwaarloosbaar is.

De verzameling van discontinuiteitspunten van f is verwaarloosbaar betekent het volgende:
Zij epsilon.gif > 0, dan zijn er intervallen Ik van [a,b] (k=1,2,3,...) zodat elk discontinuiteitspunt in minstens ÚÚn van deze intervallen ligt en zo dat de som van de lengtes van de intervallen Ik kleiner is dan epsilon.gif.

#6

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 26 september 2006 - 10:00

Even een waarschuwingetje.
Een integreerbare functie hoeft niet primitiveerbaar te zijn en omgekeerd.
Integreerbaarheid en primitiveerbaarheid zijn dus onafhankelijke begrippen.

#7

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 september 2006 - 10:04

Even een waarschuwingetje.
Een integreerbare functie hoeft niet primitiveerbaar te zijn en omgekeerd.
Integreerbaarheid en primitiveerbaarheid zijn dus onafhankelijke begrippen.

Interessant, nooit over nagedacht. Weet je een voorbeeld van een functie die wel primitiveerbaar is maar niet integreerbaar?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#8

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 26 september 2006 - 10:06

Een functie is integreerbaar op een interval als hij in hoogstens aftelbaar veel punten op dat interval discontinu is.

De grafiek van een functie heeft een eindige lengte dan en slechts dan als hij in hoogstens aftelbaar veel punten discontinu is.

#9

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 26 september 2006 - 10:27

Interessant, nooit over nagedacht. Weet je een voorbeeld van een functie die wel primitiveerbaar is maar niet integreerbaar?

Ja, meerdere voorbeelden, maar de definities van die functies zien er niet aantrekkelijk uit.
Van een zekere functie f kun je aantonen dat ie differentieerbaar is, resultaat f ', en dat f ' begrensd is en dat de discontinuiteitspunten van f ' niet verwaarloosbaar zijn.

#10

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 september 2006 - 11:17

Dat niet verwaarloosbaar zijn van de discontinu´teitspunten, is dat iets anders dan dat de verzameling discontinu´teitspunten aftelbaar (of zelfs eindig) is?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#11

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 september 2006 - 11:20

Een functie is integreerbaar op een interval als hij in hoogstens aftelbaar veel punten op dat interval discontinu is.

De grafiek van een functie heeft een eindige lengte dan en slechts dan als hij in hoogstens aftelbaar veel punten discontinu is.

:)
Wat is de lengte van
LaTeX
op het interval [-1,1] ?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#12

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 26 september 2006 - 11:40

Een functie is integreerbaar op een interval als hij in hoogstens aftelbaar veel punten op dat interval discontinu is.

De grafiek van een functie heeft een eindige lengte dan en slechts dan als hij in hoogstens aftelbaar veel punten discontinu is.

:)
Wat is de lengte van
LaTeX
op het interval [-1,1] ?

De grafiek van een begrensde functie heeft een eindige lengte dan en slechts dan als hij in hoogstens aftelbaar veel punten discontinu is.

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 september 2006 - 11:42

En zo zie je maar dat ÚÚn woordje een wereld van verschil kan zijn, in de wiskunde :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 september 2006 - 11:43

Ik wil er toch eens op wijzen dat niet elke verwaarloosbare verzameling aftelbaar is.

#15

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 26 september 2006 - 11:49

Dat niet verwaarloosbaar zijn van de discontinu´teitspunten, is dat iets anders dan dat de verzameling discontinu´teitspunten aftelbaar (of zelfs eindig) is?

Ja. Elke aftelbare verzameling is verwaarloosbaar, maar er zijn ook overaftelbare verzamelingen die verwaarloosbaar zijn. Voorbeeld:
Alle getallen in het segment [0,1] die een decimaalontwikkeling hebben waarin het cijfer 0 achter de komma ontbreekt.

Elke aftelbare verzameling is verwaarloosbaar. Bewijs:
Zij epsilon.gif > 0.
Stel de aftelbare verzameling is { a1, a2, a3, ... }
Om elk element ak leggen we een interval (ak - epsilon.gif/2k+2, ak + epsilon.gif/2k+2).
De som van de lengtes van de intervallen is < epsilon.gif.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures