Wanneer is een functie integreerbaar?
Als die continu is ja, maar dat is niet afdoende aangezien er ook 'stap-functies' zijn die te integreren zijn.
Maar er zijn ook genoeg functies die niet integreerbaar zijn. Wat is nu de definitie voor wat een integreerbare functie is?
Voorbeeld van een niet integreerbare functie:
{f(x)= 2 for x=irrational
{f(x)= 0 for x=rational
Laatste berichten
-
11:52
Gravity and gravitation
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
09:54
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 6
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Wanneer is een functie integreerbaar?
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 24.578
Re: Wanneer is een functie integreerbaar?
Goede vraag, helaas is er geen handig 'trucje' om dat direct te zien, het geldt inderdaad wel alvast voor (stuksgewijs) continue functies.
Afspraak: we hebben het hier waarschijnlijk over de klassieke Riemann-integraal, dus de vraag betreft Riemann-integreeerbaarheid.
Er zijn equivalente formuleringen hiervoor, een bekende is werken met boven- en ondersommen (resp U en L). Je definieert beide sommen en neemt de limiet voor de norm van de partitie (gemakkelijker: breedte van de intervallen) naar 0. Zo krijg je twee limieten die ik even U* en L* noem. Indien beide limieten bestaan, eindig zijn en voldoen aan U* = L*, dan is de functie Riemann-integreerbaar met als integraal precies die limiet, als f over het beschouwde interval begrensd is.
Indien dit laatste (begrensdheid op het interval waarover je integreert) niet voldaan is, kan er aan de eerste voorwaarde nog steeds voldaan zijn, maar dan hebben we het al over uitbreidingen van de Riemann-integraal (naar zogenaamde oneigenlijke integralen).
Afspraak: we hebben het hier waarschijnlijk over de klassieke Riemann-integraal, dus de vraag betreft Riemann-integreeerbaarheid.
Er zijn equivalente formuleringen hiervoor, een bekende is werken met boven- en ondersommen (resp U en L). Je definieert beide sommen en neemt de limiet voor de norm van de partitie (gemakkelijker: breedte van de intervallen) naar 0. Zo krijg je twee limieten die ik even U* en L* noem. Indien beide limieten bestaan, eindig zijn en voldoen aan U* = L*, dan is de functie Riemann-integreerbaar met als integraal precies die limiet, als f over het beschouwde interval begrensd is.
Indien dit laatste (begrensdheid op het interval waarover je integreert) niet voldaan is, kan er aan de eerste voorwaarde nog steeds voldaan zijn, maar dan hebben we het al over uitbreidingen van de Riemann-integraal (naar zogenaamde oneigenlijke integralen).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 5.679
Re: Wanneer is een functie integreerbaar?
Een functie is integreerbaar op een interval als hij in hoogstens aftelbaar veel punten op dat interval discontinu is.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 24.578
Re: Wanneer is een functie integreerbaar?
Dat klopt, al is het wat minder triviaal om dat netjes te bewijzen.
Bovendien is het in dit geval een implicatie, geen equivalentie.
Bovendien is het in dit geval een implicatie, geen equivalentie.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Wanneer is een functie integreerbaar?
Als f: [a,b] 
begrensd is, dan is f Riemann integreerbaar dan en slechts dan als de verzameling van discontinuiteitspunten van f verwaarloosbaar is.
De verzameling van discontinuiteitspunten van f is verwaarloosbaar betekent het volgende:
Zij epsilon.gif > 0, dan zijn er intervallen Ik van [a,b] (k=1,2,3,...) zodat elk discontinuiteitspunt in minstens één van deze intervallen ligt en zo dat de som van de lengtes van de intervallen Ik kleiner is dan epsilon.gif.
begrensd is, dan is f Riemann integreerbaar dan en slechts dan als de verzameling van discontinuiteitspunten van f verwaarloosbaar is.De verzameling van discontinuiteitspunten van f is verwaarloosbaar betekent het volgende:
Zij epsilon.gif > 0, dan zijn er intervallen Ik van [a,b] (k=1,2,3,...) zodat elk discontinuiteitspunt in minstens één van deze intervallen ligt en zo dat de som van de lengtes van de intervallen Ik kleiner is dan epsilon.gif.
Re: Wanneer is een functie integreerbaar?
Even een waarschuwingetje.
Een integreerbare functie hoeft niet primitiveerbaar te zijn en omgekeerd.
Integreerbaarheid en primitiveerbaarheid zijn dus onafhankelijke begrippen.
Een integreerbare functie hoeft niet primitiveerbaar te zijn en omgekeerd.
Integreerbaarheid en primitiveerbaarheid zijn dus onafhankelijke begrippen.
-
- Berichten: 5.679
Re: Wanneer is een functie integreerbaar?
Interessant, nooit over nagedacht. Weet je een voorbeeld van een functie die wel primitiveerbaar is maar niet integreerbaar?PeterPan schreef:Even een waarschuwingetje.
Een integreerbare functie hoeft niet primitiveerbaar te zijn en omgekeerd.
Integreerbaarheid en primitiveerbaarheid zijn dus onafhankelijke begrippen.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Re: Wanneer is een functie integreerbaar?
De grafiek van een functie heeft een eindige lengte dan en slechts dan als hij in hoogstens aftelbaar veel punten discontinu is.Een functie is integreerbaar op een interval als hij in hoogstens aftelbaar veel punten op dat interval discontinu is.
Re: Wanneer is een functie integreerbaar?
Ja, meerdere voorbeelden, maar de definities van die functies zien er niet aantrekkelijk uit.Interessant, nooit over nagedacht. Weet je een voorbeeld van een functie die wel primitiveerbaar is maar niet integreerbaar?
Van een zekere functie f kun je aantonen dat ie differentieerbaar is, resultaat f ', en dat f ' begrensd is en dat de discontinuiteitspunten van f ' niet verwaarloosbaar zijn.
-
- Berichten: 5.679
Re: Wanneer is een functie integreerbaar?
Dat niet verwaarloosbaar zijn van de discontinuïteitspunten, is dat iets anders dan dat de verzameling discontinuïteitspunten aftelbaar (of zelfs eindig) is?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
-
- Berichten: 5.679
Re: Wanneer is een functie integreerbaar?
De grafiek van een functie heeft een eindige lengte dan en slechts dan als hij in hoogstens aftelbaar veel punten discontinu is.Rogier schreef:Een functie is integreerbaar op een interval als hij in hoogstens aftelbaar veel punten op dat interval discontinu is.
Wat is de lengte van
\(f(x) = \left{\startmatrix 1/x & (x\neq0) 0 & (x=0) \endmatrix \right.\)
op het interval [-1,1] ?In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.
Re: Wanneer is een functie integreerbaar?
De grafiek van een begrensde functie heeft een eindige lengte dan en slechts dan als hij in hoogstens aftelbaar veel punten discontinu is.PeterPan schreef:De grafiek van een functie heeft een eindige lengte dan en slechts dan als hij in hoogstens aftelbaar veel punten discontinu is.Rogier schreef:Een functie is integreerbaar op een interval als hij in hoogstens aftelbaar veel punten op dat interval discontinu is.
Wat is de lengte van
\(f(x) = \left{\startmatrix 1/x & (x\neq0) 0 & (x=0) \endmatrix \right.\)op het interval [-1,1] ?
-
- Berichten: 24.578
Re: Wanneer is een functie integreerbaar?
En zo zie je maar dat één woordje een wereld van verschil kan zijn, in de wiskunde
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 792
Re: Wanneer is een functie integreerbaar?
Ik wil er toch eens op wijzen dat niet elke verwaarloosbare verzameling aftelbaar is.
Re: Wanneer is een functie integreerbaar?
Ja. Elke aftelbare verzameling is verwaarloosbaar, maar er zijn ook overaftelbare verzamelingen die verwaarloosbaar zijn. Voorbeeld:Dat niet verwaarloosbaar zijn van de discontinuïteitspunten, is dat iets anders dan dat de verzameling discontinuïteitspunten aftelbaar (of zelfs eindig) is?
Alle getallen in het segment [0,1] die een decimaalontwikkeling hebben waarin het cijfer 0 achter de komma ontbreekt.
Elke aftelbare verzameling is verwaarloosbaar. Bewijs:
Zij epsilon.gif > 0.
Stel de aftelbare verzameling is { a1, a2, a3, ... }
Om elk element ak leggen we een interval (ak - epsilon.gif/2k+2, ak + epsilon.gif/2k+2).
De som van de lengtes van de intervallen is < epsilon.gif.
