Springen naar inhoud

Probleem met de koeien


  • Log in om te kunnen reageren

#1

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 september 2006 - 11:52

Er zit een foutje in het volgende "bewijsje", maar ik vind het niet... :)

Een student bio-ingenieur (laatste jaar,specialiteit veeteelt) poneert volgende stelling: Wanneer in een weide een aantal koeien staan, dan hebben alle koeien in die weide dezelfde kleur!
Om nog meer indruk te maken beweert hij dat hij zijn stelling kan bewijzen door volledige inductie op het aantal koeien in de wei. Zijn argument gaat als volgt:
De stelling klopt zeker voor een wei met slechts 1 koe. Veronderstel nu dat de stelling klopt voor weiden met n koeien. Beschouw dan een wei met (n+1) koeien. We halen 1 koe uit de weide zodat er nog n overblijven. Uit de inductiehypothese volgt nu dat deze n koeien allemaal dezelfde kleur hebben. Vervolgens brengen we die ene koe die we weg hebben gehaald, terug in de wei maar we halen nu een andere koe weg zodat er weer n koeien in de weide overblijven. Uit de inductiehypothese volgt andermaal dat deze n koeien dezelfde kleur hebben. Anderzijds is het natuurlijk ook een waarheid als een koe dat als koe A dezelfde kleur heeft als koe B en koe B dezelfde kleur heeft als koe C, dat dan koe A en koe C dezelfde kleur hebben. Gecombineerd met het vorige levert dit nu dat alle (n+1) koeien dezelfde kleur hebben!
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 september 2006 - 11:58

Veronderstel nu dat de stelling klopt voor weiden met n koeien. Beschouw dan een weide met (n+1) koeien. We halen 1 koe uit de weide zodat er nog n overblijven. Uit de inductiehypothese volgt nu dat deze n koeien allemaal dezelfde kleur hebben.

Dit is toch onzin? Als je één van de vele gelijkkleurige koeien weghaalt, dan zit er in de n overblijvende nog die anderskleurige.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 september 2006 - 12:30

Veronderstel nu dat de stelling klopt voor weiden met n koeien. Beschouw dan een weide met (n+1) koeien. We halen 1 koe uit de weide zodat er nog n overblijven. Uit de inductiehypothese volgt nu dat deze n koeien allemaal dezelfde kleur hebben.

Dit is toch onzin? Als je één van de vele gelijkkleurige koeien weghaalt, dan zit er in de n overblijvende nog die anderskleurige.


Je moet veronderstellen dat het klopt voor een weide met n koeien, denk ik :)
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#4

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44881 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 september 2006 - 12:31

stelling: Wanneer in een weide een aantal koeien staan, dan hebben alle koeien in die weide dezelfde kleur!

Voorwaarde: de stelling klopt voor weiden met n koeien.

Bij mij thuis heet dat een cirkelredenering :)
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#5

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 september 2006 - 12:39

De fout in dit bewijs (want het is fout, dat moge duidelijk zijn :)) ligt iets subtieler. Hij zegt: "Stel dat de stelling klopt voor n". Dan kan uit die aanname worden beredeneerd dat het ook klopt voor n+1.
Vervolgens zegt hij: het klopt voor n=1. Dat is logisch. Aan de "stel.." is daarom voldaan. Met bovenstaand argument klopt het derhalve ook voor n=2, n=3, enzovoort...

raintjah, de fout zit hem in de allerlaatste zin. Ga eens goed na welke rol A, B en C hier vervullen...
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#6

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 september 2006 - 12:48

Ik heb het al vaak herlezen, maar ik vind het echt niet. Misschien zoek ik te ver.

EDIT:

Zo misschien:

Ze halen één koe weg, stel nu dat dat koe C (een witte koe bv) is, en ze zetten een bruine in de plaats. Dan klopt het niet meer dat koe A dezelfde kleur heeft als koe B, en koe B dezelfde als koe C.

Iets in die trend?
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#7

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 september 2006 - 12:55

Ok, dit is de bewijsvoering:

K(n) is de uitspraak "in een wei met n koeien hebben alle koeien dezelfde kleur".

Vervolgens wordt bewezen: K(n) :) K(n+1), met andere woorden uit K(n) volgt K(n+1). Oftewel ALS K(n) waar is, dan is ook K(n+1) waar.
Let op: men zegt niet op voorhand "K(n) is waar", maar alleen "STEL dat K(n) waar zou zijn, DAN is ook K(n+1) waar".

Tenslotte wordt opgemerkt dat K(1) waar is. En daarom, met bovenstaand argument, ook K(2). En daarom ook K(3), enzovoort.

Aangezien K(1) ook echt waar is, moet de fout hem zitten in het bewijs dat uit K(n) ook K(n+1) volgt. Er staat "Anderzijds is het natuurlijk ook een waarheid als een koe dat als koe A dezelfde kleur heeft als koe B en koe B dezelfde kleur heeft als koe C, dat dan koe A en koe C dezelfde kleur hebben. Gecombineerd met het vorige levert dit nu dat alle (n+1) koeien dezelfde kleur hebben!". Rara wat klopt daar niet aan, als we het over A, B en C hebben en n=1 :)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#8

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 september 2006 - 13:10

Antwoord: (spoiler, sleep met muis er overheen)
Zijn redenering gaat ervan uit dat A, B en C verschillende koeien zijn. Dan moeten er in een weiland met n+1 koeien wel uberhaupt 3 verschillende koeien bestaan, met andere woorden zijn bewijsvoering voor K(n) :) K(n+1) is alléén geldig voor n :) 2!

Uit het gegeven dat K(1) waar is kan daarom verder niks worden geconcludeerd.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#9

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 29 september 2006 - 13:18

De inductieredenering moet kloppen voor n=1.
Dus neem n+1 koeien (=2 koeien).
Zet een van beide apart, dan hebben de overigen allen dezelfde kleur.
Dat is waar ongeacht de kleur van beide koeien.

Hiermee heb je echter niet aangetoond dat de startconditie klopt, namelijk dat alle koeien dezelfde kleur hebben voor n=1.

Je kunt ook starten met n=0.
Neem dan n+1 koeien (=1 koe). Zet daarvan 1 koe apart. Dan houdt je dus 0 koeien over. Daarvan zouden alle koeien dezelfde kleur hebben. Nou, bewijs dat dan maar eens. Volgens mij hebben alle koeien van die 0 koeien een andere kleur :) )

Dit is een mooi probleem dat laat zien wat voll. inductie inhoud.
De volgende inductiestappen zijn onjuist:
1. Ik toon aan dat het klopt voor 1
2. Als het klop voor n dan kan ik met de formule (of een redenering) aantonen dat het klopt voor n+1.

Juist is:
1. Ik toon aan dat de formule (of redenering) klopt voor n=1
2. Als het klopt voor n dan kan ik met die formule (of die redenering) aantonen dat het klopt voor n+1.

#10

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 29 september 2006 - 13:31

Hiermee heb je echter niet aangetoond dat de startconditie klopt, namelijk dat alle koeien dezelfde kleur hebben voor n=1.

Nee, maar dat stelt hij apart vast ("De stelling klopt zeker voor een wei met slechts 1 koe").

Nou, bewijs dat dan maar eens. Volgens mij hebben alle koeien van die 0 koeien een andere kleur  :) )

:)
En in feite kun je ook zeggen dat in een wei met 1 koe, alle koeien een verschillende kleur hebben. Dus tja :)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#11

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 10:55

Er zit een foutje in het volgende "bewijsje", maar ik vind het niet... :)

Een student bio-ingenieur (laatste jaar,specialiteit veeteelt) poneert volgende stelling: Wanneer in een weide een aantal koeien staan, dan hebben alle koeien in die weide dezelfde kleur!
Om nog meer indruk te maken beweert hij dat hij zijn stelling kan bewijzen door volledige inductie op het aantal koeien in de wei.  Zijn argument gaat als volgt:
De stelling klopt zeker voor een wei met slechts 1 koe. Veronderstel nu dat de stelling klopt voor weiden met n koeien. Beschouw dan een wei met (n+1) koeien. We halen 1 koe uit de weide zodat er nog n overblijven. Uit de inductiehypothese volgt nu dat deze n koeien allemaal dezelfde kleur hebben. Vervolgens brengen we die ene koe die we weg hebben gehaald, terug in de wei maar we halen nu een andere koe weg zodat er weer n koeien in de weide overblijven. Uit de inductiehypothese volgt andermaal dat deze n koeien dezelfde kleur hebben. Anderzijds is het natuurlijk ook een waarheid als een koe dat als koe A dezelfde kleur heeft als koe B en koe B dezelfde kleur heeft als koe C, dat dan koe A en koe C dezelfde kleur hebben. Gecombineerd met het vorige levert dit nu dat alle (n+1) koeien dezelfde kleur hebben!

Als je het woord dezelfde vervangt door een andere klopt het bewijs ook.
Wat heb je dan eigenlijk bewezen?

#12

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 12:04

Als je het woord dezelfde vervangt door een andere klopt het bewijs ook.

Niet helemaal. Dit argument uit het bewijs klopt niet meer:

"Anderzijds is het natuurlijk ook een waarheid als een koe dat als koe A een andere kleur heeft dan koe B en koe B een andere kleur heeft dan koe C, dat dan koe A en koe C een andere kleur hebben."
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures