[wiskunde] verzamelingen

Klaas-Jan

Ik heb een dergelijk probleem:

Ik weet dat het volgende klopt:

(A'verenigingB)doorsnede(B'verenigingC) is een deelverzameling van (A'verenigingC)

Maar hoe moet ik dit bewijzen? Ik kan het netjes tekenen en dan weet ik dat het klopt, maar dat is geen bewijs. Bij voorbaat dank!

PeterPan

Je beweert

(A

B)

(B

C)

(A

C)

Dat is onjuist. Want als x

B, dan zit x in de linker verzameling en niet in

de rechter

Klaas-Jan

nee, er staat A' en B' (goed kijken)

PeterPan

nee, er staat A' en B' (goed kijken)

Het complement vanA noem je dus A'.

Dat mag, maar ik noem dat doorgaans A^c

(A^c

B)

(B^c

C)

(A^c

C)

Stel dat x

(A^c

B)

(B^c

C),

dan moeten we aantonen dat x

(A^c

C)

Als x [rr] (A^c [rr] B)

(B^c

C),

dan is x

(A^c

/ B) én x

(B^c

C)

dan is (x

A óf x

B) én (x

B óf x

C).

Je hebt nu 4 mogelijkheden (combinaties):

x

A én x

B

x

A én x

C

x

B én x

B ONMOGELIJK

x

B én x

C

In alle 3 mogelijke gevallen geldt x

A óf x

C

dus x

(A^c

C)

PeterPan

Te bewijzen:

(A^c

B)

(B^c

C)

(A^c

C)

Je kunt de relatie

/

vergelijken met x / +.

(a+b)x(b+c) = axb + axc + b² + bxc

zo ook

(A^c

B)

(B^c

C) =

(A^c

B^c)

(A^c

/ C)

(B

B^c)

(B

C) =

(A^c

B^c)

(A^c

C)

(B [rr] C)

(A^c [rr] C)

PeterPan

Het horizontaal gearceerde gebied is A^c

B

Het vertikaal gearceerde gebied is B^c

C

en het gele gebied is A^c [rr] C.

Je ziet dat het dubbelgearceerde gebied (= (A^c

B)

(B^c [rr] C)) een deelverzameling is van het gele gebied.

Hieruit volgt (A^c

/ B)

(B^c

C)

A^c

C.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] verzamelingen

[wiskunde] verzamelingen

Re: [wiskunde] verzamelingen

Re: [wiskunde] verzamelingen

Re: [wiskunde] verzamelingen

Re: [wiskunde] verzamelingen

Re: [wiskunde] verzamelingen