Springen naar inhoud

Getallenverzameling


  • Log in om te kunnen reageren

#1

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 12:19

Ik heb het volgende in mijn cursus staan:

Beschouw: A={a [rr] :) | 0 < a  ;) 1}

Het is duidelijker dat 1 het grootste element van A is; dus max A=1. Maar heeft A een kleinste element? Merk op dat 0 niet het kleinste element van A is om de eenvoudige reden dat 0 niet tot A behoort. We beweren dat A geen kleinste element heeft. Immers kies een willekeurig element a :) A. Omdat 0 < a [rr] 1 is 0 < a/2 < a :) 1. Dus A bevat een element, namelijk a/2 dat strikt kleiner is dan a. Daarom kan a niet het kleinste element van A zijn. Omdat dit geldt voor elk element a :?: A, is er dus geen kleinste element in A, maw A heeft geen minimum. Niettemin is A wel naar onder begrensd; -3, -13/2 en 0 zijn bijvoorbeeld ondergrenzen. De verzameling van alle ondergrenzen van A wordt gegeven door: O = {x :?: :D/ | x :) 0}


In de voorlaatste zin staat:

Niettemin is A wel naar onder begrensd; -3, -13/2 en 0 zijn bijvoorbeeld ondergrenzen.


Hoe kan dat? -3 en -13/2 zitten toch niet in de verzameling?



Alvast bedankt,
Stijn
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 12:55

Hoe kan dat? -3 en -13/2 zitten toch niet in de verzameling?

Dat hoeft ook niet; voor een ondergrens geldt alleen dat er zeker geen kleinere getallen dan die grens in de verzameling zitten.
Zo zijn ook 1, :) en 37 bovengrenzen voor A.

Zo'n ondergrens heet trouwens ook wel "minorant", en de grootste van alle minoranten, in dit geval 0, heet het infimum van de verzameling.
Een ander woord voor bovengrens is majorant, en de kleinste van alle majoranten, in dit geval 1, heet het supremum.

Notatie: inf A = 0, sup A = 1. Het infimum en supremem mogen wel maar hoeven (in tegenstelling tot een minimum en maximum) niet tot de verzameling te behoren.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 13:45

Hoe kan dat? -3 en -13/2 zitten toch niet in de verzameling?


Je hebt gelijk en ongelijk.
A={a :) :) | 0 < a ;) 1} op zich heeft geen benedengrens,
maar als deelverzameling van :) heeft A oneindig veel benedengrenzen.

Als deelverzameling van [0;1] = {a :) [rr] | 0 :?: a [rr] 1} heeft ie precies 1 benedengrens.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures