Springen naar inhoud

getallenverzameling


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 13:51

Er bestaat geen kleinste positieve breuk.

Echter: Er bestaat wel een kleinst positief getal.

Ik toon aan dat het kleinste positieve reŽle getal gelijk is aan 1:
Stel x is het kleinste positieve reŽle getal.
Dan is x>0 en x2>0 (immers het kwadraat van een getal ongelijk aan 0 is positief).
x was het kleinste positieve reŽle getal, dus x ≤ x2.
Dan is x2 - x ≥ 0 ofwel x(x - 1) ≥ 0.
Dan is x≤0 (onjuist) of x ≥ 1.
Aangezien x het kleinst mogelijke positieve reŽle getal is is x = 1.

Is er iets mis met dit bewijs?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 14:00

Je bewijst hier: ALS er een kleinst positief reŽel getal bestaat, DAN is het 1.
Daar is niks mis mee, maar het bewijst niet DAT er een kleinst positief reŽel getal bestaat.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 14:11

Er bestaat geen kleinste positieve breuk.

Echter: Er bestaat wel een kleinst positief getal.

Ik toon aan dat het kleinste positieve reŽle getal gelijk is aan 1:
Stel x is het kleinste positieve reŽle getal.
Dan is x>0 en x2>0 (immers het kwadraat van een getal ongelijk aan 0 is positief).
x was het kleinste positieve reŽle getal, dus x ≤ x2.
Dan is x2 - x ≥ 0 ofwel x(x - 1) ≥ 0.
Dan is x≤0 (onjuist) of x ≥ 1.
Aangezien x het kleinst mogelijke positieve reŽle getal is is x = 1.

Is er iets mis met dit bewijs?

"x was het kleinste positieve reŽle getal, dus x ≤ x2"
1/2>0 en (1/2)≤>0 maar (1/2)≤<1/2

#4

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 14:18

"x was het kleinste positieve reŽle getal, dus x ≤ x2"
1/2>0 en (1/2)≤>0 maar (1/2)≤<1/2

Ja maar 1/2 is dan ook niet het kleinste positieve reŽle getal, in tegenstelling tot x (aanname "stel x is.." in het begin).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#5

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 14:39

"x was het kleinste positieve reŽle getal, dus x ≤ x2"
1/2>0 en (1/2)≤>0 maar (1/2)≤<1/2

Ja maar 1/2 is dan ook niet het kleinste positieve reŽle getal, in tegenstelling tot x (aanname "stel x is.." in het begin).

Maar je kunt niet van deze aanname uitgaan tenzij je tot een tegenspraak wilt geraken!

#6

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 15:14

Je bewijst hier: ALS er een kleinst positief reŽel getal bestaat, DAN is het 1.
Daar is niks mis mee, maar het bewijst niet DAT er een kleinst positief reŽel getal bestaat.

Sterker nog: je bewijst het tegenovergestelde. Als er een kleinst positief reŽel getal is dan is het 1, maar er zijn positieve getallen kleiner dan 1 dus het kleinst positief reŽel getal bestaat niet.

#7

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 15:28

Maar je kunt niet van deze aanname uitgaan tenzij je tot een tegenspraak wilt geraken!

Hoe bedoel je?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 16:03

Maar je kunt niet van deze aanname uitgaan tenzij je tot een tegenspraak wilt geraken!

Hoe bedoel je?

De aanname dat er een kleinste pos reŽel getal bestaat!

#9

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 19:04

Gaat het hier over het kleinst strikt positieve. Als het gewoon over het kleinste positieve gaat dan is het 0.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#10

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 19:16

Gaat het hier over het kleinst strikt positieve. Als het gewoon over het kleinste positieve gaat dan is het 0.

0 is niet positief en niet negatief. 0 is 0.

#11

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 20:10

Als gij het zo bekijkt dan moet ik antwoorden dat ge in je bewijs achter een positief getal zoekt waarvan het kwadraat gelijk is of groter dan zichzelf en dat is maar 1 natuurlijk. Wat ge vindt .
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#12

timwaagh

    timwaagh


  • >250 berichten
  • 293 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 20:38

Je bewijst hier: ALS er een kleinst positief reŽel getal bestaat, DAN is het 1.
Daar is niks mis mee, maar het bewijst niet DAT er een kleinst positief reŽel getal bestaat.

wat ons bij het volgende probleem brengt: hoe bewijzen we dat er positieve reele getallen zijn kleiner dan 1. Dan hebben we meteen bewezen dat er geen kleinste positieve reeele getallen zijn. Misschien hebben ze daar axioma's (aannames) voor?

Als je echter wilt bewijzen dat het kleinste getal bestaat, zul je moeten bewijzen dat de stelling ook de andere kant op geldt, oftewel als x=1, dan zijn er geen reele getallen kleiner dan 1.

#13

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 21:24

Even nog een betere aanvulling. x>0 en x≤>0 geldt voor alle positieve reŽle getallen en mag alleen maar gelden voor het kleinste positief reeŽl getal. Gij zoekt trouwens in je ongelijking achter het kleinste positief getal groter of gelijk aan 1 dat kleiner of gelijk is aan zijn kwadraat en ge vindt natuurlijk 1. [rr]
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#14

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 oktober 2006 - 22:36

de aanname is fout..
de implicatie is wel waar! ( A==> B is altijd waar als A onwaar is )
ik heb zo'n variant hierop gezien waarmee werd bewezend dat bijv N een grootst getal heeft...
ook met kwadraten enzo

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 oktober 2006 - 14:33

Ik struikel ook over de regel die Safe aanhaalt:
"x was het kleinste positieve reŽle getal, dus x ≤ x≤"

Waarom zou dat moeten gelden voor de kleinste reŽle x? Voor 0 < x < 1 geldt het niet.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures