Wetenschapsforum

Er bestaat geen kleinste positieve breuk.

Echter: Er bestaat wel een kleinst positief getal.

Ik toon aan dat het kleinste positieve reële getal gelijk is aan 1:

Stel x is het kleinste positieve reële getal.

Dan is x>0 en x²>0 (immers het kwadraat van een getal ongelijk aan 0 is positief).

x was het kleinste positieve reële getal, dus x ≤ x².

Dan is x² - x ≥ 0 ofwel x(x - 1) ≥ 0.

Dan is x≤0 (onjuist) of x ≥ 1.

Aangezien x het kleinst mogelijke positieve reële getal is is x = 1.

Is er iets mis met dit bewijs?

Je bewijst hier: ALS er een kleinst positief reëel getal bestaat, DAN is het 1.

Daar is niks mis mee, maar het bewijst niet DAT er een kleinst positief reëel getal bestaat.

raintjah schreef:Er bestaat geen kleinste positieve breuk.

Echter: Er bestaat wel een kleinst positief getal.

Ik toon aan dat het kleinste positieve reële getal gelijk is aan 1:

Stel x is het kleinste positieve reële getal.

Dan is x>0 en x²>0 (immers het kwadraat van een getal ongelijk aan 0 is positief).

x was het kleinste positieve reële getal, dus x ≤ x².

Dan is x² - x ≥ 0 ofwel x(x - 1) ≥ 0.

Dan is x≤0 (onjuist) of x ≥ 1.

Aangezien x het kleinst mogelijke positieve reële getal is is x = 1.

Is er iets mis met dit bewijs?

"x was het kleinste positieve reële getal, dus x ≤ x²"

1/2>0 en (1/2)²>0 maar (1/2)²<1/2

Safe schreef:"x was het kleinste positieve reële getal, dus x ≤ x²"

1/2>0 en (1/2)²>0 maar (1/2)²<1/2

Ja maar 1/2 is dan ook niet het kleinste positieve reële getal, in tegenstelling tot x (aanname "stel x is.." in het begin).

Rogier schreef:

Safe schreef:"x was het kleinste positieve reële getal, dus x ≤ x²"

1/2>0 en (1/2)²>0 maar (1/2)²<1/2

Ja maar 1/2 is dan ook niet het kleinste positieve reële getal, in tegenstelling tot x (aanname "stel x is.." in het begin).

Maar je kunt niet van deze aanname uitgaan tenzij je tot een tegenspraak wilt geraken!

Rogier schreef:Je bewijst hier: ALS er een kleinst positief reëel getal bestaat, DAN is het 1.

Daar is niks mis mee, maar het bewijst niet DAT er een kleinst positief reëel getal bestaat.

Sterker nog: je bewijst het tegenovergestelde. Als er een kleinst positief reëel getal is dan is het 1, maar er zijn positieve getallen kleiner dan 1 dus het kleinst positief reëel getal bestaat niet.

Maar je kunt niet van deze aanname uitgaan tenzij je tot een tegenspraak wilt geraken!

Hoe bedoel je?

Safe schreef:Maar je kunt niet van deze aanname uitgaan tenzij je tot een tegenspraak wilt geraken!

Hoe bedoel je?

De aanname dat er een kleinste pos reëel getal bestaat!

Gaat het hier over het kleinst strikt positieve. Als het gewoon over het kleinste positieve gaat dan is het 0.

Gaat het hier over het kleinst strikt positieve. Als het gewoon over het kleinste positieve gaat dan is het 0.

0 is niet positief en niet negatief. 0 is 0.

Als gij het zo bekijkt dan moet ik antwoorden dat ge in je bewijs achter een positief getal zoekt waarvan het kwadraat gelijk is of groter dan zichzelf en dat is maar 1 natuurlijk. Wat ge vindt .

Rogier schreef:Je bewijst hier: ALS er een kleinst positief reëel getal bestaat, DAN is het 1.

Daar is niks mis mee, maar het bewijst niet DAT er een kleinst positief reëel getal bestaat.

wat ons bij het volgende probleem brengt: hoe bewijzen we dat er positieve reele getallen zijn kleiner dan 1. Dan hebben we meteen bewezen dat er geen kleinste positieve reeele getallen zijn. Misschien hebben ze daar axioma's (aannames) voor?

Als je echter wilt bewijzen dat het kleinste getal bestaat, zul je moeten bewijzen dat de stelling ook de andere kant op geldt, oftewel als x=1, dan zijn er geen reele getallen kleiner dan 1.

Even nog een betere aanvulling. x>0 en x²>0 geldt voor alle positieve reële getallen en mag alleen maar gelden voor het kleinste positief reeël getal. Gij zoekt trouwens in je ongelijking achter het kleinste positief getal groter of gelijk aan 1 dat kleiner of gelijk is aan zijn kwadraat en ge vindt natuurlijk 1. [rr]

de aanname is fout..

de implicatie is wel waar! ( A==> B is altijd waar als A onwaar is )

ik heb zo'n variant hierop gezien waarmee werd bewezend dat bijv N een grootst getal heeft...

ook met kwadraten enzo

Ik struikel ook over de regel die Safe aanhaalt:

"x was het kleinste positieve reële getal, dus x ≤ x²"

Waarom zou dat moeten gelden voor de kleinste reële x? Voor 0 < x < 1 geldt het niet.