wat is hier fout aan!?

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 171

wat is hier fout aan!?

stel

S= (1/2-1/2)+(1/3-1/3)+(1/4-1/4)+........ tot oneindig.

dan geldt dat S= 0+0+0+........................

=0

maar nu geldt ook

S= (1/2-1/2)+(1/3-1/3)+(1/4-1/4)+........ tot oneindig.

= 1/2-1/2 + 1/3-1/3 + 1/4-1/4+........ tot oneindig.

= (1/2+1/3+..........) - (1/2+ 1/3+1/4+........)

=oneindig - oneindig (( want er is sprake van divergente rijen))

en op andere manieren kan je ook aantonen dat S gelijk is aan ieder willekeurig getal in R: dus ook pi enzo..

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: wat is hier fout aan!?

Je past het zomaar toen, maar wie zegt dat je de volgorde van de termen mag veranderen?

Dit mag namelijk in het algemeen niet (ziehier waarom), maar geldt bijvoorbeeld wel voor absoluut convergente reeksen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 171

Re: wat is hier fout aan!?

optellen is commutatief of hoe dat ook heet..:S

en het zijn allemaal getallen, dus de volgorde is wel te verwisslen..

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: wat is hier fout aan!?

Niet bij oneindige sommen, helaas. Commutatief is a+b = b+a, maar daarom mag je de termen in een (oneindige) reeks nog niet verwisslen van plaats.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Re: wat is hier fout aan!?

Als je phi.gif als uitkomst wilt hebben moet je het volgende doen.

Je weet dat de reeks phi.gif 1/n divergeert.

Begin met S1 = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/a.

a is zó gekozen dat 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(a-1) nog kleiner is dan :) en 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/a groter is dan :) .

Maak nu S2 = S1 - 1 - 1/2 - 1/3 - ... - 1/b zodanig dat

S1 - 1 - 1/2 - 1/3 - ... - 1/(b-1) groter is dan :?: en S1 - 1 - 1/2 - 1/3 - ... - 1/b kleiner is dan :?: .

Maak nu S3 = S2 + 1/(a+1) + 1/(a+2) + 1/(a+3) + ... + 1/c.

c is zó gekozen dat S2 + 1/(a+1) + 1/(a+2) + 1/(a+3) + ... + 1/(c-1). nog kleiner is dan ;) en S2 + 1/(a+1) + 1/(a+2) + 1/(a+3) + ... + 1/c groter is dan ;) .

Maak nu S4 = S3 - 1/(b+1) - 1/(b+2) - 1/(b+3) - ... - 1/d zodanig dat S3 - 1/(b+1) - 1/(b+2) - 1/(b+3) - ... - 1/(d-1)

groter is dan [rr] en S3 - 1/(b+1) - 1/(b+2) - 1/(b+3) - ... - 1/d kleiner is dan [rr] .

Ga zo voort. Alle termen uit jouw rij S worden alle precies 1 maal gebruikt en de som wordt [rr] .

Berichten: 14

Re: wat is hier fout aan!?

Zo ken ik er ook nog eentje:

0 = 0 + 0 + 0 + ... = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ..... = 1 + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + ... = 1

Maar zo werkt het dus niet gelukkig.
Assumptions are the solid grid through which we view the universe, sometimes deluding ourselves that this grid is the universe.

Berichten: 171

Re: wat is hier fout aan!?

Jabs schreef:Zo ken ik er ook nog eentje:

0 = 0 + 0 + 0 + ... = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ..... = 1  + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + ... = 1

Maar zo werkt het dus niet gelukkig.
jep:D

gekke dingetjes

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: wat is hier fout aan!?

Het (convergentie)gedrag van reeksen is een erg belangrijk onderwerp, er zijn dan ook tal van stellingen geformuleerd: onder andere over wanneer je dit wél mag.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 792

Re: wat is hier fout aan!?

deze stelling van Riemann doorprikt volledig de mythe dat reeksen gewoon een soort som zijn.

Als een reële reeks niet absoluut convergeert, maar wel convergeert, kan je hem ELKE waarden (oneindig inclusief) laten aannemen door termen om te wisselen.

En nu heb ik es het laatste woord. :)

Reageer