Springen naar inhoud

Niveauoppervlakken


  • Log in om te kunnen reageren

#1

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 oktober 2006 - 08:38

Hoi,

volgende les gaan we het hebben over functies in :)^n dimensies. Ik snap de meeste dingen wel, maar dan hebben ze het op een gegeven moment over "niveauoppervlakken", en dat begrijp ik niet zo goed. Ik kan me niet visualiseren wat het is.

Alvast bedankt!

Groeten,
stijn
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 05 oktober 2006 - 09:18

Geef vb!

#3

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 oktober 2006 - 09:26

Ik meen mij te herinneren dat van een functie LaTeX een niveauverzameling bestaat uit alle punten LaTeX waarvoor geldt LaTeX (waarbij c het 'niveau' is). Ik dacht dat als n=3 een niveauverzameling ook wel een niveau-oppervlak genoemd werd. Dit weet ik echter niet zeker, dus kijk maar wat je met deze informatie doet. :)

#4

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 oktober 2006 - 09:50

We hebben reeds opgemerkt dat men een functie f::D³ --> :) van drie variabelen in principe de grafiek als wiskundig object kan definieren. Die grafiek zal echter een deel zijn van :)^4 = :)³ x :) en dit is moeilijk te visualiseren. Met behulp van de niveauoppervlakken gaan we echter toch nog enigszins "zicht" kunnen krijgen op een functie van drie variabelen. Voor elke c :) :) definieert men het niveauoppervlak LaTeX

;) ;)³ van f door

LaTeX

Meestal is dit een oppervlak dat de punten in ;)³ die dezelfde functiewaarde c krijgen onder f met elkaar verbindt.


Ik hoop dat jullie er iets van kunnen maken..

Groeten,
Stijn
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

#5

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 oktober 2006 - 10:06

LaTeX
Ik neem aan dat je dit gedeelte niet snapt. Het beschrijft simpelweg de verzameling van alle punten uit LaTeX waarvoor geldt f(x,y,z)=c.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 oktober 2006 - 11:40

Bekijk het in een dimensie lager om het beter te begrijpen.

Beschouw z = f(x,y), een functie van twee variabelen met f(x,y) = x²+y². Dit is een omwentelingsparaboloïde (top in oorsprong) die je (onder andere) kan verkrijgen door de parabool z = x² te laten wentelen om de y-as die hier loodrecht op staat.

Moest je niet de mogelijkheid hebben om een 3D-weergave te maken, dan kan je wel niveauoppervlakken bekijken in 2D. Dit zijn de krommen die voldoen aan f(x,y) = c, met c een constante. Bijvoorbeeld: neem c = r², dan zie je dat de niveauoppervlakken op hoogte r² de vergelijking x²+y² = r² hebben, cirkels met straal r. Inderdaad, de paraboloïde is niets anders dan een 'aaneenschakelijk' van cirkels, beginnen in de oorsprong met een punt, en dan steeds groter wordende stralen.
Wat je dus doet is je 3D-oppervlak z = f(x,y) snijden met het vlak z = c, een vlak op constante hoogte c dat dus evenwijdig is met het xy-vlak. De kromme die je bekomt als doorsnede van je oppervlak en het vlak z = c, is het niveauoppervlak.

Nu is het niet moeilijk om te begrijpen hoe het in een dimensie hoger zit, maar misschien toch een voorbeeld. Neem nu f(x,y,z) = x²+y²+z². Dit is nu een driedimensionaal hyperoppervlak in een vierdimensionale ruimte, niet echt goed voor te stellen dus. De niveauoppervlakken zijn nu oppervlakken die je in 3D kan voorstellen. Neem voor de constante hoogte c opnieuw r², dan krijg je: x²+y²+z² = r², dit zijn nu sferen (bollen) met straal r, middelpunt in de oorsprong.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 05 oktober 2006 - 11:58

Wel eens een 'paraboloïde' z=x²+y² gezien? Een ruimtelijke weergave van de standaardparabool y=x², door deze te wentelen om de y-as.
Als je de parboloïde met horizontale vlakken op bepaalde hoogtes doorsnijdt (bv z=1, z=2, z=3 enz) krijg je cirkels die behoren bij die bepaalde z-waarde.
Die cirkels worden getekend in het xy coördinatenstelsel, dus bv x²+y²=1 enz
Op deze wijze kan (met enige moeite) een beeld verkregen worden van de ruimtelijke voorstelling in het platte vlak.
En deze cirkels zijn nu enkele niveau-lijnen van de paraboloïde.

Bij het posten merkte ik dat je hetzelfde vb van een 3-dimensionale constructie gekozen hebt. Merkwaardig! Maar ik laat het toch maar staan.
Even iets anders: ik heb moeite met LaTeX op het moment! Bv 2³ wil niet.
[ tex ]2^3[ /tex ] geeft LaTeX

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 oktober 2006 - 12:13

Hier doet'ie het ook niet, het ligt dus niet aan jou. Ik zal het even melden...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 05 oktober 2006 - 12:53

Hier doet'ie het ook niet, het ligt dus niet aan jou. Ik zal het even melden...

Hier 'doet' LaTeX het plotsklaps wel weer, gezien mijn post.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 oktober 2006 - 14:32

Het blijkt weer in orde ja :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 oktober 2009 - 21:15

Dus als ik het goed begrijp:

:eusa_whistle: R

http://enciclopedia....b...ción_1.png

We nemen bijvoorbeeld een niveauoppervlak op hoogte 3. De vergelijking wordt dan x²=y²=3, m.a.w. de doorsnede van het vlak z=3 en de scalaire functie f(x,y)=x²+y²

Naargelang we de c (hier 3) laten variëren, nemen we een andere cirkel evenwijdig met het xy-vlak.

](*,) R²

f(x,y,z)=x²+y²+z²

Kan je dit nog voorstellen in een 3d-assenstelsel?
Klopt het dat het nu om een 4-dimensionale ruimte gaat, omdat er sprake is van
1) x
2) y
3) z
4) f(x,y,z)

Klopt het dat de niveauoppervlakken van deze functie geen vlak is, maar een hypervlak dat in dit geval een bol met een straal c, afhankelijk van de constante die we kiezen voor c?

En, ten derde, klopt het dat er vanaf een 4-dimensionale ruimte niet meer sprake is van niveauoppervlakken, maar van hypervlakken?

Bestaat er, ten slotte, nog een zinvolle voorstelling van f(x,y,z)=x²+y²+z²? (Meetkundig? Fysisch?)

Bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 oktober 2009 - 23:24

[/b]We nemen bijvoorbeeld een niveauoppervlak op hoogte 3. De vergelijking wordt dan x²+y²=3, m.a.w. de doorsnede van het vlak z=3 en de scalaire functie f(x,y)=x²+y²

Naargelang we de c (hier 3) laten variëren, nemen we een andere cirkel evenwijdig met het xy-vlak.

Juist, of geen cirkel meer (c negatief) -> daar is niks van het oppervlak.

:eusa_whistle: R²

f(x,y,z)=x²+y²+z²

Kan je dit nog voorstellen in een 3d-assenstelsel?
Klopt het dat het nu om een 4-dimensionale ruimte gaat, omdat er sprake is van
1) x
2) y
3) z
4) f(x,y,z)

Juist, je hebt al drie onafhankelijke variabelen, de functiewaarde kan je in een vierde steken maar 4D kan je niet meer (geheel) in een 3D-plot weergeven.

Klopt het dat de niveauoppervlakken van deze functie geen vlak is, maar een hypervlak dat in dit geval een bol met een straal c, afhankelijk van de constante die we kiezen voor c?

De niveauoppervlakken zijn nu inderdaad oppervlakken die je in 3D kan voorstellen, in dit geval bollen.

En, ten derde, klopt het dat er vanaf een 4-dimensionale ruimte niet meer sprake is van niveauoppervlakken, maar van hypervlakken?

Je mag dat noemen hoe je wil. Wanneer het niet meer het "klassieke" vlak is wat we gewoonlijk met "vlak" bedoelen, maar hogerdimensionaal, spreken we ook van hypervlakken.

Bestaat er, ten slotte, nog een zinvolle voorstelling van f(x,y,z)=x²+y²+z²? (Meetkundig? Fysisch?)

Wat bedoel je met zinvol?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 oktober 2009 - 00:06

Met zinvol bedoel ik:

Als je een coördinaat (x,y,z) hebt, hoe stel je de functiewaarde ervan dan voor, aangezien je grafisch slechts over 3 dimensies beschikt?


Alvast bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures