Springen naar inhoud

[wiskunde] vergelijking van een vlak in de ruimte


  • Log in om te kunnen reageren

#1

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2006 - 21:04

Hallo,
Weet iemand misschien hoe ik een vergelijking opstel van het vlak dat door de punten (1,1,2), (-2,0,1) en (3,2,1) gaat?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 oktober 2006 - 21:08

Een vlak in de ruimte wordt steeds beschreven door 2 rechten. Maak nu 2 rechten met die punten en het antwoord ligt voor je voeten :)

#3

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2006 - 21:14

Hoe doe je dat dan? We hebben alleen geleerd punten in een (x,y,z) vlak beschreven met door middel van parametervoorstellingen (vectoren).

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 oktober 2006 - 21:15

Door twee kruisende rechten zal je niet zomaar een vlak krijgen...

Drie verschillende punten bepalen eenduidig een vlak in de ruimte.

Je kan vertrekken van een standaardvorm om zo je drie punten in te vullen, je krijgt dan vergelijkingen in de onbepaalde coŽfficiŽnten, dat levert een oplosbaar stelsel van lineaire vergelijkingen.
Wat ook kan: vorm twee richtingsvectoren, samen met ťťn punt bepaalt dit ook het vlak. Er zijn verschillende mogelijkheden, afhankelijk van welk soort voorschrift je wil zal de ene beter zijn dan de andere (parameter, vector, cartesisch).

Als je al wat matrix-rekening hebt gehad, dan kan je de vergelijking ook in een elegante vorm schrijven met behulp van een determinant.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 oktober 2006 - 21:19

Owja sorry, twee snijdende vlakken bepalen een rechte, zo was het :)

Maar met 2 snijdende rechten kom je toch zoiezo een vlak uit? niet dan?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 oktober 2006 - 21:20

Ja, tenzij ze samenvallen (dit kan al dan niet opgenomen zijn in de definitie van 'snijden'.)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2006 - 21:21

Nu weet ik nog niet hoe die gaat :S. Het is in ieder geval de bedoeling om een vergelijking op te stellen in de 'carthesische vorm'. Ik heb hem zo geprobeerd op te lossen:
ax+by+cz=d

Maar je kunt maar 3 vergelijkingen opstellen en vier onbekenden :S. Hier loop ik dan tegen de lamp. Ik zal wel iets fout doen :).

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 oktober 2006 - 21:23

Ik lees net dat je bekend bent met parametervoorstellingen, kan je die wel opstellen? Kan je overgaan parameter <-> cartesisch?

De mogelijke andere piste om direct cartesisch te verkrijgen: oplossen van dat stelsel of de determinant-manier, ken je dit laatste?

Ik heb hem zo geprobeerd op te lossen:
ax+by+cz=d

Maar je kunt maar 3 vergelijkingen opstellen en vier onbekenden :S. Hier loop ik dan tegen de lamp. Ik zal wel iets fout doen :).

Dat is geen probleem, het is normaal dat je een "overbodige" onbekende hebt.
Immers: x-y+2z = 1 beschrijft hetzelfde vlak als 2x-2x+4z = 2, zie je waarom?

Mogelijkheid: als je weet (of veronderstelt) dat ťťn van de coŽfficiŽnten niet 0 is, dan kan je die wegdelen zodat je maar 3 onbekenden overhoudt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

mmmaster>

    mmmaster>


  • >25 berichten
  • 42 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2006 - 21:30

Ik dacht de determinant van een 4x4 matrix :

[x,y,z,1]
[punt1, 1]
[punt2, 1]
[punt3, 1]

deze det uitrekenen en vereenvoudigen geeft u de carthesische vgl van uw vlak in de ruimte. Voor de parametervgl moet je anders werken...

NOOT: die 1 , na ieder punt , moet weldegelijk 1 zijn want hetgeen wat ervoor staat is een punt... Stel je hebt 2 punten en een richting dan moet na die richting een 0 komen ipv een 1 :)

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 oktober 2006 - 21:34

Klopt, maar ik wist niet of flamey daar iets aan had, vandaar ook mijn vraag.
Moest je het zo willen doen, dan kan je de orde verlagen (en dus berekening versnellen) via:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2006 - 21:36

Ik ben helaas niet bekend met determinanten, dus daar heb ik niets aan....

Ik kan wel parameter <-> carthesisch omzetten. Het probleem zit hem tevens in het opstellen van de vergelijkingen. Voor de afzonderlijke punten zijn er toch geen onbekenden?

Stel voor het punt (1,1,2). Daarvoor geldt x+y+z=4..... Maar alle variabelen zijn toch al bekend? Dan is er ook niets op te lossen....

Ik ben wel bekend met stelsels oplossen.

#12

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 oktober 2006 - 21:39

Hoe doe je dat dan? We hebben alleen geleerd punten in een (x,y,z) vlak beschreven met door middel van parametervoorstellingen (vectoren).

Kan je hier een vb van geven, dan kan ik je (misschien), op basis daarvan, verder helpen.

#13

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2006 - 21:41

Dan verwijs ik wel door naar het studiemateriaal:

studiemateriaal

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 oktober 2006 - 21:42

De stelsel-manier: vertrek van ax+by+cz=d (of deel ťťn onbekende weg), substitueer achtereenvolgens de punten voor (x,y,z) zodat je 3 lineaire vergelijkingen in {a,b,c,d} (of drie ervan) krijgt. Los dit stelsel op.

De parameter/vector-manier: een richtingsvector verkrijg je door het verschil te maken van twee verschillende punten. Maak op die manier twee richtingsvectoren s en t, stel de parameter/vector-vgl op en ga over naar cartesisch.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

flamey

    flamey


  • >100 berichten
  • 244 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2006 - 22:22

Volgens mij is dit de parametervoorstelling:Geplaatste afbeelding

Hierdoor kom ik op de vergelijking: 2x-5y+4z=5

Ziet iemand zo mijn fout?

(Antwoord is 2x-5y-z=-5)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures