Springen naar inhoud

[wiskunde] opstellen integraal voor beperkt domein


  • Log in om te kunnen reageren

#1

pet_juh

    pet_juh


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 oktober 2006 - 20:11

Hoi!

Ben pas net nieuw, maar heb meteen al een probleempje: voor wiskunde moeten we met Derive de "oppervlakte" onder de grafiek van 3 functies berekenen, dat wil zeggen: voor functie 1 is het domein [0,4], voor 2 [4,8] en voor 3 [8,10].
Nu is het niet zo dat ik meteen na het lezen van de opdracht naar het forum ben gekomen, maar ik kom er gewoon niet uit na 3 dagen proberen, en vrijdag moet ik de boel klaar hebben.
Het zit als volgt: we hebben 3 functies: f(t) = 0.625*t^2, f(t) = 5t-10 en f(t) = 30.
Zoals boven beschreven hebben alle 3 de functies maar een beperkt domein. Nu moet ik voor dit domein (in totaal [0,10]) dus de integraal opstellen, met zo'n sommatieteken, dus met parameters i en n.
Gegeven is: de verdeelpunten zijn: t1 = 0, t2 = 0 + 1*[delta]t.....,
ti = 0 + (i-1)*[delta]t....., tn = 0 + (n-1)*[delta]t.
Verder is gegeven dat [delta]t = (b-a)/n, waarbij a is de laagste en b de hoogste waarde van het domein, in dit geval voor de functies 4, 4 en 2, en xi = a+(i-1)*[delta]x.
Nu snap ik dat ik [delta]t moet vermenigvuldigen met de bijbehorende functiewaarde van die t (xi), en ook dat ik het resultaat van de 3 functies apart moet berekenen en vervolgens moet sommeren, maar ook moet ik de functie f(x) uitdrukken in a, b, n en i om f(xi) te krijgen. En daar wringt hem juist de schoen, want dat krijg ik even niet onder mijn muts in.
Ik hoop dat iemand me kan helpen. Ik hoef niet van alles de oplossing, als ik maar weet hoe ik het moet aanpakken.
Alvast bedankt.
Patrick.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 oktober 2006 - 20:19

Het is me niet 100% duidelijk in welke vorm je het antwoord nu moet geven.
Je kan een integraal dus benaderen door een som, je telt dan de oppervlakte van 'rechthoeken' op:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

pet_juh

    pet_juh


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 oktober 2006 - 20:25

Hoi.
Klopt ja, de laatste vorm is de vorm die ik moet hebben. Echter, ik moet de xi uitschrijven en dat is wat me maar niet lukt voor de functies.
Wel bedankt voor je snelle reactie.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 oktober 2006 - 20:26

Wat bedoel je met uitschrijven? Kan je iets specifieker zijn, wat moet er nu gebeuren?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

pet_juh

    pet_juh


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 oktober 2006 - 20:31

ik weet dat xi = a+(i-1)*[delta]t, waarbij a is de laagste waarde van het domein van de functie. Maar ik weet niet hoe ik dit gegeven moet combineren met de oorspronkelijke functie, laten we zeggen 2x^2, met domein [0,4]. Ik kan wel invullen xi = 0+(i-1)*[delta]x, waarbij [delta]x = (b-a)/n, waarbij b is de hoogste waarde van het domein (4), maar waar is mijn 2x^2 dan gebleven en wat moet ik ermee?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 oktober 2006 - 20:37

Je moet ook vermenigvuldigen met je functie natuurlijk, geŽvalueerd in een punt van je interval (bvb een randpunt).

Ik heb je bericht nog eens herlezen, in jouw notaties zou die som worden:

LaTeX

Snap je?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

pet_juh

    pet_juh


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 oktober 2006 - 20:49

dus als ik het goed begrijp krijg ik het volgende:
oppervlakte Ai = LaTeX
en in binnen de functie f(LaTeX ) moet ik vermenigvuldigen met mijn functie LaTeX ? Dus zeg maar LaTeX ??

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 oktober 2006 - 20:52

Nee, je functie Ūs 2x≤, dus f(x) = 2x≤. Snap je de notatie in m'n vorige post? Die heb ik later toegevoegd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

pet_juh

    pet_juh


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 oktober 2006 - 21:00

ik snap de notatie ja, maar waar het mij om draait is: hoe krijg ik dat integraal verteld dat ik dat wil doen voor de functie 2x^2? Of in geval van de variabele t: 2t^2. In het kort: hoe kom ik van f(x) naar f(xi)? Sorry dat het zo lang duurt maar ik krijg het gewoon even niet voor elkaar.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 oktober 2006 - 21:04

Okť, we zijn nu zover dat we de algemene vorm van de sommatie al hebben:

LaTeX

Nu, een functie f(a) beschrijft een uitdrukking met een a. Wil ik diezelfde functie in 4b-2, dan krijg ik f(4b-2) en moet ik elke a in het voorschrift vervangen door 4b-2. Als er gegeven is, bvb de tweede functie, f(t) = 5t-10 en je wil f in een ander punt evalueren, dan vervang je elke t door dat punt.

Wij willen nu f in (a+i(b-a)/n), dat is het nieuwe argument. Dus t hierdoor vervangen:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

pet_juh

    pet_juh


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 oktober 2006 - 21:17

Nou, ik denk dat ik het hier wel mee red. In ieder geval heel erg bedankt voor uw hulp (het is al aan de late kant per slot van rekening). Overigens sorry voor mijn late reactie, maar ik had nniet gezien dat er weer een antwoord was.
Mocht het niet lukken dan zal spoedig weer een post van mij verschijnen.
Groeten en nogmaals bedankt,
Patrick.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 oktober 2006 - 21:25

Graag gedaan. In dat laatste specifieke voorbeeld kan je herschrijven:

LaTeX

Die constante term op het einde krijgt nu een factor n door de sommatie en de coŽfficiŽnt van i kan voorop:

LaTeX

Die sommatie is dan (rekenkundige rij) n(n+1)/2, zodat je de som expliciet kan uitrekenen:

LaTeX

Dit kan je vereenvoudigen:

LaTeX

Voor deze functie was a = 4 en b = 8, dus:

LaTeX

Het mooie is dat je nu voor elke gewenste n (= aantal deelintervallen) de benadering gemakkelijk kan uitrekenen.
Nog mooier is dat je met de limiet voor n gaande naar oneindig, precies 80 krijgt: de exacte waarde van de integraal:

LaTeX

Misschien moest je dit allemaal niet doen, dan is het ter info :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

pet_juh

    pet_juh


  • 0 - 25 berichten
  • 9 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 oktober 2006 - 21:28

:) dat laatste hoefde ik inderdaad niet te doen, maar wel bedankt voor de uiteenzetting.
Alvast een goede nachtrust toegewenst en nogmaals bedankt voor de snelle reacties,
Patrick.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 oktober 2006 - 21:30

Ach, nu zie je ook waar die integraal vandaan komt: het is namelijk niets anders dan de limiet van de som, waarbij je de 'breedte' van de intervalletjes naar 0 laat gaan :)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures