[wiskunde] opstellen integraal voor beperkt domein

pet_juh

Hoi!

Ben pas net nieuw, maar heb meteen al een probleempje: voor wiskunde moeten we met Derive de "oppervlakte" onder de grafiek van 3 functies berekenen, dat wil zeggen: voor functie 1 is het domein [0,4], voor 2 [4,8] en voor 3 [8,10].

Nu is het niet zo dat ik meteen na het lezen van de opdracht naar het forum ben gekomen, maar ik kom er gewoon niet uit na 3 dagen proberen, en vrijdag moet ik de boel klaar hebben.

Het zit als volgt: we hebben 3 functies: f(t) = 0.625*t^2, f(t) = 5t-10 en f(t) = 30.

Zoals boven beschreven hebben alle 3 de functies maar een beperkt domein. Nu moet ik voor dit domein (in totaal [0,10]) dus de integraal opstellen, met zo'n sommatieteken, dus met parameters i en n.

Gegeven is: de verdeelpunten zijn: t1 = 0, t2 = 0 + 1*[delta]t.....,

ti = 0 + (i-1)*[delta]t....., tn = 0 + (n-1)*[delta]t.

Verder is gegeven dat [delta]t = (b-a)/n, waarbij a is de laagste en b de hoogste waarde van het domein, in dit geval voor de functies 4, 4 en 2, en xi = a+(i-1)*[delta]x.

Nu snap ik dat ik [delta]t moet vermenigvuldigen met de bijbehorende functiewaarde van die t (xi), en ook dat ik het resultaat van de 3 functies apart moet berekenen en vervolgens moet sommeren, maar ook moet ik de functie f(x) uitdrukken in a, b, n en i om f(xi) te krijgen. En daar wringt hem juist de schoen, want dat krijg ik even niet onder mijn muts in.

Ik hoop dat iemand me kan helpen. Ik hoef niet van alles de oplossing, als ik maar weet hoe ik het moet aanpakken.

Alvast bedankt.

Patrick.

TD

Het is me niet 100% duidelijk in welke vorm je het antwoord nu moet geven.

Je kan een integraal dus benaderen door een som, je telt dan de oppervlakte van 'rechthoeken' op:

\(\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i } \right)\left( {x_i - x_{i - 1} } \right)} = \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i } \right)\Delta x_i } \)

pet_juh

Hoi.

Klopt ja, de laatste vorm is de vorm die ik moet hebben. Echter, ik moet de xi uitschrijven en dat is wat me maar niet lukt voor de functies.

Wel bedankt voor je snelle reactie.

TD

Wat bedoel je met uitschrijven? Kan je iets specifieker zijn, wat moet er nu gebeuren?

pet_juh

ik weet dat xi = a+(i-1)*[delta]t, waarbij a is de laagste waarde van het domein van de functie. Maar ik weet niet hoe ik dit gegeven moet combineren met de oorspronkelijke functie, laten we zeggen 2x^2, met domein [0,4]. Ik kan wel invullen xi = 0+(i-1)*[delta]x, waarbij [delta]x = (b-a)/n, waarbij b is de hoogste waarde van het domein (4), maar waar is mijn 2x^2 dan gebleven en wat moet ik ermee?

TD

Je moet ook vermenigvuldigen met je functie natuurlijk, geëvalueerd in een punt van je interval (bvb een randpunt).

Ik heb je bericht nog eens herlezen, in jouw notaties zou die som worden:

\(\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i } \right)\Delta t_i } = \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {a + i\frac{{b - a}}{n}} \right)\frac{{b - a}}{n}} \)

Snap je?

pet_juh

dus als ik het goed begrijp krijg ik het volgende:

oppervlakte Ai =

\(\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i } \right)\Delta x_i } \)

en in binnen de functie f(

\(x_i\)

) moet ik vermenigvuldigen met mijn functie

\(2x^2\)

? Dus zeg maar

\(\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i 2x^2} \right)\Delta x_i } \)

??

TD

Nee, je functie ís 2x², dus f(x) = 2x². Snap je de notatie in m'n vorige post? Die heb ik later toegevoegd.

pet_juh

ik snap de notatie ja, maar waar het mij om draait is: hoe krijg ik dat integraal verteld dat ik dat wil doen voor de functie 2x^2? Of in geval van de variabele t: 2t^2. In het kort: hoe kom ik van f(x) naar f(xi)? Sorry dat het zo lang duurt maar ik krijg het gewoon even niet voor elkaar.

TD

Oké, we zijn nu zover dat we de algemene vorm van de sommatie al hebben:

\(\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {a + i\frac{{b - a}}{n}} \right)\frac{{b - a}}{n}} \)

Nu, een functie f(a) beschrijft een uitdrukking met een a. Wil ik diezelfde functie in 4b-2, dan krijg ik f(4b-2) en moet ik elke a in het voorschrift vervangen door 4b-2. Als er gegeven is, bvb de tweede functie, f(t) = 5t-10 en je wil f in een ander punt evalueren, dan vervang je elke t door dat punt.

Wij willen nu f in (a+i(b-a)/n), dat is het nieuwe argument. Dus t hierdoor vervangen:

\(\sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {a + i\frac{{b - a}}{n}} \right)\frac{{b - a}}{n}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {5\left( {a + i\frac{{b - a}}{n}} \right) - 10} \right)\frac{{b - a}}{n}} \)

pet_juh

Nou, ik denk dat ik het hier wel mee red. In ieder geval heel erg bedankt voor uw hulp (het is al aan de late kant per slot van rekening). Overigens sorry voor mijn late reactie, maar ik had nniet gezien dat er weer een antwoord was.

Mocht het niet lukken dan zal spoedig weer een post van mij verschijnen.

Groeten en nogmaals bedankt,

Patrick.

TD

Graag gedaan. In dat laatste specifieke voorbeeld kan je herschrijven:

\(\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {5\left( {a + i\frac{{b - a}}{n}} \right) - 10} \right)\frac{{b - a}}{n}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\frac{{5\left( {a - b} \right)^2 }}{{n^2 }}i + \frac{{5\left( {2 - a} \right)\left( {a - b} \right)}}{n}} \right)}\)

Die constante term op het einde krijgt nu een factor n door de sommatie en de coëfficiënt van i kan voorop:

\(\frac{{5\left( {a - b} \right)^2 }}{{n^2 }}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n i } \right) + 5\left( {2 - a} \right)\left( {a - b} \right)\)

Die sommatie is dan (rekenkundige rij) n(n+1)/2, zodat je de som expliciet kan uitrekenen:

\(\frac{{5\left( {a - b} \right)^2 }}{{n^2 }}\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} + 5\left( {2 - a} \right)\left( {a - b} \right) = \frac{{5\left( {a - b} \right)^2 \left( {n + 1} \right)}}{{2n}} + 5\left( {2 - a} \right)\left( {a - b} \right)\)

Dit kan je vereenvoudigen:

\(\frac{{5\left( {b - a} \right)\left( {a\left( {n - 1} \right) + b\left( {n + 1} \right) - 4n} \right)}}{{2n}}\)

Voor deze functie was a = 4 en b = 8, dus:

\(\frac{{20\left( {4\left( {n - 1} \right) + 5 - 8\left( {n + 1} \right) - 4n} \right)}}{{2n}} = 80 + \frac{{40}}{n}\)

Het mooie is dat je nu voor elke gewenste n (= aantal deelintervallen) de benadering gemakkelijk kan uitrekenen.

Nog mooier is dat je met de limiet voor n gaande naar oneindig, precies 80 krijgt: de exacte waarde van de integraal:

\(\int\limits_4^8 {5t - 10dt} = 80\)

Misschien moest je dit allemaal niet doen, dan is het ter info

pet_juh

dat laatste hoefde ik inderdaad niet te doen, maar wel bedankt voor de uiteenzetting.

Alvast een goede nachtrust toegewenst en nogmaals bedankt voor de snelle reacties,

Patrick.

TD

Ach, nu zie je ook waar die integraal vandaan komt: het is namelijk niets anders dan de limiet van de som, waarbij je de 'breedte' van de intervalletjes naar 0 laat gaan

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] opstellen integraal voor beperkt domein

[wiskunde] opstellen integraal voor beperkt domein

Re: [wiskunde] opstellen integraal voor beperkt domein

Re: [wiskunde] opstellen integraal voor beperkt domein

Re: [wiskunde] opstellen integraal voor beperkt domein

Re: [wiskunde] opstellen integraal voor beperkt domein

Re: [wiskunde] opstellen integraal voor beperkt domein

Re: [wiskunde] opstellen integraal voor beperkt domein

Re: [wiskunde] opstellen integraal voor beperkt domein

Re: [wiskunde] opstellen integraal voor beperkt domein

Re: [wiskunde] opstellen integraal voor beperkt domein

Re: [wiskunde] opstellen integraal voor beperkt domein

Re: [wiskunde] opstellen integraal voor beperkt domein

Re: [wiskunde] opstellen integraal voor beperkt domein

Re: [wiskunde] opstellen integraal voor beperkt domein