De beide limieten bestaan en zijn alle twee gelijk aan 0 en toch schrijft men verder dy/dx.
Men schrijft dy/dx in plaats van de uitdrukking:
\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)
En níet voor die teller en noemer afzonderlijk. De limieten die je daar schrijft zijn
0.
Hier zou ik meer voor de oplossing van evilbro zijn die hoogstwaarschijnlijk bedoelt dat de limiet van een qoutient alleen gelijk is aan het qoutient van de limieten als de limiet van de noemer niet 0 is.
Uiteraard mag je niet 'delen door 0' dus die voorwaarde is ook nodig, maar ook: de limiet van een quotiënt is gelijk aan het quotiënt van de limieten indien die laatste twee limieten bestaan.
Dit kan uiteraard wel, zoals hier, een onbepaaldheid opleveren (0/0), maar dan moet je de limiet maar op een andere manier evalueren, de limiet van het quotiënt kan dan nog steeds bestaan.
Toch heb ik moeilijkheden met het schrijven van de afgeleide als dy/dx, waarbij men dy en dx mag manipuleren als gewone getallen. Maar blijkbaar sta ik alleen, dus ik zal het daarbij laten.
Je mag dy en dx ook helemaal niet 'manipuleren zoals gewone getallen', want het zijn geen gewone getallen.
Men behandelt dy/dx vaak als een breuk, met de toegelaten manipulaties daarop. Dat mag in principe niet, want het is geen echte breuk, het is een notatie voor
de limiet van een breuk. De reden waarom men hier vaak op die manier zo mee kan omspringen, zonder fouten te maken, is omdat je steeds vóór de limiet-overgang kan gaan, je manipulaties dan op de breuk toepassen, en dan vervolgens weer de limiet nemen. Dit uiteraard 'in het achterhoofd', want dit schrijft men zelden expliciet zo uit.
