Springen naar inhoud

[wiskunde] Differential equations


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Morzon

    Morzon


  • >1k berichten
  • 2002 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 oktober 2006 - 11:59

ik heb een vraag over eerste orde differentiaalvergelijkingen, en 1 over 2 orde:

LaTeX nu kan ik dit heel makkelijk oplossen omdat het separable equation is.
nu:

een eerste orde lineare differentaal vergelijking heeft de vorm:

LaTeX als we nu een integratie factor, I vinden zodat afgeleide van de I maal y gelijk is aan de integratie factor maal h.
dus: LaTeX

een voorbeeld:
LaTeX
LaTeX
beide kanten integreren: LaTeX
LaTeX

nu mijn vraag 1: is de laatste manier niet de meest algemene manier om een eerste orde dv op te lossen? zo ja, kun je LaTeX ff op deze manier oplossen, want mij lukt het niet. zo nee, waarom?

tweede vraag:
deze vraag is vergelijkbaar met de eerste, maar nu over tweede orde lineare niet homogene differentiaalvergelijking.
dus een vergelijking van de vorm: LaTeX
nu moet je op dit soort vergelijkingen op te lossen, de complementary vergelijking oplossen, en daarna een particular oplossing. Er staat in mijn calculus boek dat er twee manieren zijn om dit soort vergelijkingen op te lossen, namelijk: undetermined coefficients en variation of parameters.
meest algemene is variation of parameters.
nu mijn vraag: hoe los ik y''=a op met variation of parameters. LaTeX

zal wel weer iets stoms van mij zijn. maar ik zie het nu nog niet.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 oktober 2006 - 12:56

nu mijn vraag 1: is de laatste manier niet de meest algemene manier om een eerste orde dv op te lossen?

Geen idee.

zo ja, kun je LaTeX

ff op deze manier oplossen, want mij lukt het niet. zo nee, waarom?

LaTeX
Integreren en zo verder...
Ik zou het echter anders doen:
LaTeX
LaTeX

nu mijn vraag: hoe los ik y''=a op met variation of parameters. LaTeX

Ik denk dat het volgende gevraagd wordt:
LaTeX

#3

Morzon

    Morzon


  • >1k berichten
  • 2002 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 oktober 2006 - 13:36

tweede wilde ik zelf proberen met variation of parameters, maar dat lukte niet. en aangezien in mijn boek staat dat variation of parameters de meest algemene manier is om zo'n tweede orde niet homogene vergelijking op te lossen dacht ik ....

maar als er geen andere term voorkomt met x kan dus deze vergelijking LaTeX , geschreven worden als: y''=g -> (y')'=g .

nu probeer ik met variation of parameters, misschien doe ik zelf wat fout. (bij mijn eerste vraag had ik dus over het hoofd gezien dat de integraal van 0, +C was:) )

de complementary oplossing=yc=c1+c2*t
yp=u1+u2t
yp'=u1'+u2't+u2
u1'+u2't=0 [1]
yp''=u'2=a -> u2=at
dan volgt uit [1] dt u'1 = -at^2
dus yp= -at^2+at^2=0
dus y=yp+yc=yc en this makes no sense. Doe ik iets fout of faalt de "algemene methode"hier?

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 17 oktober 2006 - 14:17

ik heb een vraag over eerste orde differentiaalvergelijkingen, en 1 over 2 orde:

LaTeX

nu kan ik dit heel makkelijk oplossen omdat het separable equation is.
nu:

een eerste orde lineare differentaal vergelijking heeft de vorm:

LaTeX als we nu een integratie factor, I vinden zodat afgeleide van de I maal y gelijk is aan de integratie factor maal h.  
dus: LaTeX

een voorbeeld:
LaTeX
LaTeX
beide kanten integreren: LaTeX
LaTeX

nu mijn vraag 1: is de laatste manier niet de meest algemene manier om een eerste orde dv op te lossen? zo ja, kun je LaTeX ff op deze manier oplossen, want mij lukt het niet. zo nee, waarom?

tweede vraag:
deze vraag is vergelijkbaar met de eerste, maar nu over tweede orde lineare niet homogene differentiaalvergelijking.
dus een vergelijking van de vorm: LaTeX
nu moet je op dit soort vergelijkingen op te lossen, de complementary vergelijking oplossen, en daarna een particular oplossing. Er staat in mijn calculus boek dat er twee manieren zijn om dit soort vergelijkingen op te lossen, namelijk: undetermined coefficients en variation of parameters.
meest algemene is variation of parameters.  
nu mijn vraag: hoe los ik y''=a op met variation of parameters. LaTeX

zal wel weer iets stoms van mij zijn. maar ik zie het nu nog niet.

De eerste lukt toch met I=e^(-xģ/3)?
De tweede geeft: x(t)=C1*t+C2+1/2gtē

#5

Morzon

    Morzon


  • >1k berichten
  • 2002 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 oktober 2006 - 14:34

eerste lukt nu wel, zie mijn vorige post. tweede lukt ook wel, maar niet met variation of parameters
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 17 oktober 2006 - 15:38

tweede wilde ik zelf proberen met variation of parameters, maar dat lukte niet. en aangezien in mijn boek staat dat variation of parameters de meest algemene manier is om zo'n tweede orde niet homogene vergelijking op te lossen dacht ik ....

maar als er geen andere term voorkomt met x kan dus deze vergelijking LaTeX

, geschreven worden als: y''=g -> (y')'=g .

nu probeer ik met variation of parameters, misschien doe ik zelf wat fout. (bij mijn eerste vraag had ik dus over het hoofd gezien dat de integraal van 0, +C was:) )

de complementary oplossing=yc=c1+c2*t  
yp=u1+u2t
yp'=u1'+u2't+u2  
u1'+u2't=0 [1]
yp''=u'2=a -> u2=at
dan volgt uit [1] dt u'1 = -at^2
dus yp= -at^2+at^2=0
dus y=yp+yc=yc en this makes no sense. Doe ik iets fout of faalt de "algemene methode"hier?

u1'+u2't=0 [1]
yp''=u'2=a
Hieruit los je u1' en u2' op, dat geeft u2'=a en u1'=-at
Vervolg met part opl van u1 en u2, dat zijn u1=-1/2atē en u2=at
Vul in in yP=-1/2atē+at*t=1/2atē
Tenslotte: y=yC+yP=C1+C2*t+1/2atē.

#7

Morzon

    Morzon


  • >1k berichten
  • 2002 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 oktober 2006 - 16:31

argggg alweer zo'n fout!

heel erg bedankt safe en Evilbro.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 oktober 2006 - 20:12

Met variatie van de parameters lukt het in het algemeen sowieso, maar voor eenvoudige opgaven zal dit vaak omslachtiger zijn.

De karakteristieke wortel is (tweevoudig) 0, dus we stellen u = 1 en v = x voor.
De Wronskiaan is dan:

LaTeX

Zodat de volledige oplossing gegeven wordt door: x = Au+Bv met:

LaTeX

LaTeX

Dus:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures