[wiskunde] Differential equations

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 17-10-'06, 12:59

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

[wiskunde] Differential equations

ik heb een vraag over eerste orde differentiaalvergelijkingen, en 1 over 2 orde:
\(y'=x^2y\)
nu kan ik dit heel makkelijk oplossen omdat het separable equation is.

nu:

een eerste orde lineare differentaal vergelijking heeft de vorm:
\(y'+py=h\)
als we nu een integratie factor, I vinden zodat afgeleide van de I maal y gelijk is aan de integratie factor maal h.

dus:
\((IY)'=Ih\)
een voorbeeld:
\(y'+3x^2y=6x^2 \)
\((e^(x^3)y)'=6x^2*e^(x^3)\)
beide kanten integreren:
\( e^(x^3)y=2e^(x^3)+c\)
\( y=2+Ce^(-x^3)\)
nu mijn vraag 1: is de laatste manier niet de meest algemene manier om een eerste orde dv op te lossen? zo ja, kun je
\(y'=x^2y\)
ff op deze manier oplossen, want mij lukt het niet. zo nee, waarom?

tweede vraag:

deze vraag is vergelijkbaar met de eerste, maar nu over tweede orde lineare niet homogene differentiaalvergelijking.

dus een vergelijking van de vorm:
\(ay''+by'+cy=d\)
nu moet je op dit soort vergelijkingen op te lossen, de complementary vergelijking oplossen, en daarna een particular oplossing. Er staat in mijn calculus boek dat er twee manieren zijn om dit soort vergelijkingen op te lossen, namelijk: undetermined coefficients en variation of parameters.

meest algemene is variation of parameters.

nu mijn vraag: hoe los ik y''=a op met variation of parameters.
\((d^2x/dt^2=g)\)
zal wel weer iets stoms van mij zijn. maar ik zie het nu nog niet.
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 13:56

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: [wiskunde] Differential equations

nu mijn vraag 1: is de laatste manier niet de meest algemene manier om een eerste orde dv op te lossen?
Geen idee.
zo ja, kun je
\(y'=x^2y\)
ff op deze manier oplossen, want mij lukt het niet. zo nee, waarom?
\(y' = x^2 y \rightarrow y' - x^2 y = 0 = e^{\frac{-x^3}{3}} y' - x^2 e^{\frac{-x^3}{3}} y = (e^{\frac{-x^3}{3}} y)'\)
Integreren en zo verder...

Ik zou het echter anders doen:
\(\frac{dy}{dx} = x^2 y \rightarrow x^2 = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d(\ln(y))}{dx} \rightarrow \frac{1}{3} x^3 = \ln(y) + k\)
\(e^{\frac{1}{3} x^3} = e^{\ln(y) + k} = e^{\ln(y)} e^{k} = y e^{k} \rightarrow y = C e^{\frac{1}{3} x^3}\)

nu mijn vraag: hoe los ik y''=a op met variation of parameters.
\((d^2x/dt^2=g)\)
Ik denk dat het volgende gevraagd wordt:
\(v = y' \rightarrow y'' = v' = a \rightarrow v = a t + c_1 \rightarrow y' = a t + c_1 \rightarrow y = \frac{1}{2} a t^2 + c_1 t + c_2\)
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 14:36

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: [wiskunde] Differential equations

tweede wilde ik zelf proberen met variation of parameters, maar dat lukte niet. en aangezien in mijn boek staat dat variation of parameters de meest algemene manier is om zo'n tweede orde niet homogene vergelijking op te lossen dacht ik ....

maar als er geen andere term voorkomt met x kan dus deze vergelijking
\((d^2x/dt^2=g)\)
, geschreven worden als: y''=g -> (y')'=g .

nu probeer ik met variation of parameters, misschien doe ik zelf wat fout. (bij mijn eerste vraag had ik dus over het hoofd gezien dat de integraal van 0, +C was:) )

de complementary oplossing=yc=c1+c2*t

yp=u1+u2t

yp'=u1'+u2't+u2

u1'+u2't=0 [1]

yp''=u'2=a -> u2=at

dan volgt uit [1] dt u'1 = -at^2

dus yp= -at^2+at^2=0

dus y=yp+yc=yc en this makes no sense. Doe ik iets fout of faalt de "algemene methode"hier?
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 15:17

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] Differential equations

Morzon schreef:ik heb een vraag over eerste orde differentiaalvergelijkingen, en 1 over 2 orde:
\(y'=x^2y\)
nu kan ik dit heel makkelijk oplossen omdat het separable equation is.

nu:

een eerste orde lineare differentaal vergelijking heeft de vorm:
\(y'+py=h\)
als we nu een integratie factor, I vinden zodat afgeleide van de I maal y gelijk is aan de integratie factor maal h.  

dus:
\((IY)'=Ih\)
een voorbeeld:
\(y'+3x^2y=6x^2 \)
\((e^(x^3)y)'=6x^2*e^(x^3)\)
beide kanten integreren:
\( e^(x^3)y=2e^(x^3)+c\)
\( y=2+Ce^(-x^3)\)
nu mijn vraag 1: is de laatste manier niet de meest algemene manier om een eerste orde dv op te lossen? zo ja, kun je
\(y'=x^2y\)
ff op deze manier oplossen, want mij lukt het niet. zo nee, waarom?

tweede vraag:

deze vraag is vergelijkbaar met de eerste, maar nu over tweede orde lineare niet homogene differentiaalvergelijking.

dus een vergelijking van de vorm:
\(ay''+by'+cy=d\)
nu moet je op dit soort vergelijkingen op te lossen, de complementary vergelijking oplossen, en daarna een particular oplossing. Er staat in mijn calculus boek dat er twee manieren zijn om dit soort vergelijkingen op te lossen, namelijk: undetermined coefficients en variation of parameters.

meest algemene is variation of parameters.  

nu mijn vraag: hoe los ik y''=a op met variation of parameters.
\((d^2x/dt^2=g)\)
zal wel weer iets stoms van mij zijn. maar ik zie het nu nog niet.
De eerste lukt toch met I=e^(-x³/3)?

De tweede geeft: x(t)=C1*t+C2+1/2gt²
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 15:34

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: [wiskunde] Differential equations

eerste lukt nu wel, zie mijn vorige post. tweede lukt ook wel, maar niet met variation of parameters
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 16:38

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [wiskunde] Differential equations

Morzon schreef:tweede wilde ik zelf proberen met variation of parameters, maar dat lukte niet. en aangezien in mijn boek staat dat variation of parameters de meest algemene manier is om zo'n tweede orde niet homogene vergelijking op te lossen dacht ik ....

maar als er geen andere term voorkomt met x kan dus deze vergelijking
\((d^2x/dt^2=g)\)
, geschreven worden als: y''=g -> (y')'=g .

nu probeer ik met variation of parameters, misschien doe ik zelf wat fout. (bij mijn eerste vraag had ik dus over het hoofd gezien dat de integraal van 0, +C was:) )

de complementary oplossing=yc=c1+c2*t  

yp=u1+u2t

yp'=u1'+u2't+u2  

u1'+u2't=0 [1]

yp''=u'2=a -> u2=at

dan volgt uit [1] dt u'1 = -at^2

dus yp= -at^2+at^2=0

dus y=yp+yc=yc en this makes no sense. Doe ik iets fout of faalt de "algemene methode"hier?
u1'+u2't=0 [1]

yp''=u'2=a

Hieruit los je u1' en u2' op, dat geeft u2'=a en u1'=-at

Vervolg met part opl van u1 en u2, dat zijn u1=-1/2at² en u2=at

Vul in in yP=-1/2at²+at*t=1/2at²

Tenslotte: y=yC+yP=C1+C2*t+1/2at².
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 17:31

Morzon

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: [wiskunde] Differential equations

argggg alweer zo'n fout!

heel erg bedankt safe en Evilbro.
Omhoog

Bericht 17-10-'06, 21:12

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: [wiskunde] Differential equations

Met variatie van de parameters lukt het in het algemeen sowieso, maar voor eenvoudige opgaven zal dit vaak omslachtiger zijn.

De karakteristieke wortel is (tweevoudig) 0, dus we stellen u = 1 en v = x voor.

De Wronskiaan is dan:
\(W = \left| {\begin{array}{*{20}c} u & v {u'} & {v'} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}c} 1 & x 0 & 1 \end{array}} \right| = 1\)
Zodat de volledige oplossing gegeven wordt door: x = Au+Bv met:
\(A = - \int {\frac{1}{W}vf\left( x \right)dx} = - \int {xgdx} = - g\frac{{x^2 }}{2} + c_1\)
\(B = \int {\frac{1}{W}uf\left( x \right)dx} = \int {gdx} = gx + c_2 \)
Dus:
\(x = Au + Bv = \left( { - g\frac{{x^2 }}{2} + c_2 } \right) + \left( {gx + c_2 } \right)x = g\frac{{x^2 }}{2} + c_2 x + c_1 \)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”