[Wiskunde] Bewijs: exp(x) groeit harder dan iedere polynoom

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 17-10-'06, 21:32

A.Square

Berichten: 251

[Wiskunde] Bewijs: exp(x) groeit harder dan iedere polynoom

Gegeven een willekeurig polynoom p(x)

Bewijs:

exp(x) >= p(x), voor x>M.

(In woorden: "Voor x voldoende groot is de exponentiaalfunctie groter dan ieder mogelijk polynoom")

Dit heb ik gedaan:

Afbeelding

Dan lijk ik er te zijn, afgezien van het feit dat de eerste som loopt van van 0 tot oneindig en de tweede van (n+1) tot oneindig.

Hoe verhelp ik dit?

(Of ben ik een volledig verkeerde weg ingeslagen?)
Omhoog

Bericht 18-10-'06, 09:53

physicalattraction

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 4.094

Re: [Wiskunde] Bewijs: exp(x) groeit harder dan iedere polynoom

Ik zou hem anders aanpakken.

Constateer dat alle termen van de reeks van de e-macht positief zijn, dus indien één term groter is dan het polynoom, is de e-macht dat ook. Beschouw het polynoom
\(\sum \limits_{k=0}^{n} a_k x^k\)
en de term
\(\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\)
. Bewering: voor voldoende grote
\(x\)
geldt:
\(\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} > \sum \limits_{k=0}^{n} a_k x^k\)
.

Kies
\(x > n \cdot (n+1)! \cdot \max(a_k)\)
en
\(x>1\)
, dan:
\(\sum \limits_{k=0}^{n} a_k x^k \leq \sum \limits_{k=0}^{n} |a_k| x^k < n \cdot |\max(a_k)| \cdot x^n < \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\)
Omhoog

Bericht 18-10-'06, 16:59

A.Square

Berichten: 251

Re: [Wiskunde] Bewijs: exp(x) groeit harder dan iedere polynoom

Oh jaaa!

Mooi

Er is dus een enkele term uit de exponentiaalfunctie die al groter is dan het polynoom.

Hartstikke bedankt!
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”