Springen naar inhoud

Hoek bepalen.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 oktober 2006 - 18:03

Gegeven is volgende tekening:

Geplaatste afbeelding

Hoe kan ik er nu formeel achter komen dat de hoek vanboven tussen de twee stralen delta alfa is?
Ik heb het proberen aan te tonen door de rechte volledig linksonder zo te verplaatsen tot die horizontaal ligt. En dan in elke driehoek alles uit te rekenen om er zo uiteindelijk te geraken.
Echter ik denk dat het op een snellere en mss wel betere manier moet kunnen. Iemand enig idee?

Groeten. Dank bij voorbaat.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 oktober 2006 - 19:33

de hoek LaTeX

nu zijn P'Q en PQ beide raaklijnen, of anders : LaTeX
Maar in de driehoek MPQP' is de som der hoeken LaTeX , de vierde en laatste hoek P'MP is dus LaTeX :wink:

#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 oktober 2006 - 21:29

Gegeven is volgende tekening:

Geplaatste afbeelding

Hoe kan ik er nu formeel achter komen dat de hoek vanboven tussen de twee stralen delta alfa is?
Ik heb het proberen aan te tonen door de rechte volledig linksonder zo te verplaatsen tot die horizontaal ligt. En dan in elke driehoek alles uit te rekenen om er zo uiteindelijk te geraken.
Echter ik denk dat het op een snellere en mss wel  betere manier moet kunnen. Iemand enig idee?

Groeten. Dank bij voorbaat.

Een andere (maar belangrijke) manier is:
Kijk eens goed naar de benen van de beide hoeken, dan moet duidelijk zijn dat ze paarsgewijs loodrecht op elkaar staan en dat betekent de hoeken zijn gelijk of elkaars supplement.

#4

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 oktober 2006 - 11:48

Oke ik begrijp de redenering van evilbu maar hij maakt gebruik van het feit dat LaTeX loodrecht op beide raaklijnen staan.
Louter intuïtief begrijp ik dat wel maar hoe kan je dat formeel bewijzen?
Safe’s redenering volgt dan waarschijnlijk éénmaal ik dit feit ken.

Groeten. Dank bij voorbaat.

#5

oktagon

    oktagon


  • >1k berichten
  • 4502 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 19 oktober 2006 - 13:30

Nog een oplossing:

Trek de lijn MP'door en vorm eerst een kleine driehoek waarin delta Alfa in zit,de nieuw gevormde hoek is 90-Alfa (P")en wordt een nieuwe hoek in de driehoek PMP"
met ook een hoek van 90 gr.wegens de raaklijn.
De rest is wel te bedenken!

#6

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 oktober 2006 - 14:56

Jaja ik zie hoe stom ik ben geweest.
Maar hoe bewijs je dat die raaklijn daar 90° op staat?
Groeten.

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 19 oktober 2006 - 15:11

Jaja ik zie hoe stom ik ben geweest.
Maar hoe bewijs je dat die raaklijn daar 90° op staat?
Groeten.

Dit is een stelling: de voerstraal naar het raakpunt van een raaklijn staat loodrecht op die raaklijn.
Wil je deze stelling bewezen zien?

#8

oktagon

    oktagon


  • >1k berichten
  • 4502 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 19 oktober 2006 - 15:47

Jaja ik zie hoe stom ik ben geweest.
Maar hoe bewijs je dat die raaklijn daar 90° op staat?
Groeten.


Een aanvullende reactie:

Je uitgangspunten zijn:

M is middelpunt aangegeven cirkel met voerstralen naar P en P' ,waar raaklijnen langs getekend zijn en die staan altijd haaks op de voerstralen,dat hebben andere geleerden vele eeuwen geleden bewezen,moet jij niet meer doen!

#9

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 19 oktober 2006 - 16:05

Jaja ik zie hoe stom ik ben geweest.
Maar hoe bewijs je dat die raaklijn daar 90° op staat?
Groeten.


Een aanvullende reactie:

Je uitgangspunten zijn:

M is middelpunt aangegeven cirkel met voerstralen naar P en P' ,waar raaklijnen langs getekend zijn en die staan altijd haaks op de voerstralen,dat hebben andere geleerden vele eeuwen geleden bewezen,moet jij niet meer doen!

Daar kan ik het niet mee eens zijn! Een bewijs is altijd 'nuttig'.

#10

oktagon

    oktagon


  • >1k berichten
  • 4502 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 19 oktober 2006 - 18:03

In oa.dit geval niet meer,omdat het bewijs gecopieerd kan worden en er kan worden gemanipuleerd met andere bewoordingen om toch hetzelfde verhaal te krijgen!

#11

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 oktober 2006 - 23:18

Ik zie het wel maar moest iemand er een formeel bewijs voor hebben dan zouw dat fijn zijn.
Net omdat het je dan het juiste inzicht geeft in de materie: hoe komt men er aan? hoe bewijst pmen het formeel?
En je dan helpt die zaken beter te onthouden.
Heeft dit ook iets te maken met bepaalde aanames van euclidische meetkunde? zo ja waar vindt ik een set essentieele bewijzen van daar ?

Groeten.

#12

oktagon

    oktagon


  • >1k berichten
  • 4502 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 20 oktober 2006 - 12:44

Dit kan volgens mij het grafisch bewijs zijn dat een raaklijn haaks staat op de voerstraal;de redenering is dat de hoek bij het middelpunt nadert tot nul,dus beide hoeken die aan de basis lijn van de driehoek gelegen zijn,naderen tot 90 graden op het ogenblik dat de basislijn niet meer door de cirkel snijdt,doch hem raakt,anders zou er nog een driehoek gevormd worden door twee voerstralen en de basis.Maar op het moment dat de twee voerstralen samen vallen kun je alleen nog het verlengde (vector!) van de basis zien en dat is de raaklijn!

Geplaatste afbeelding

#13

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 21 oktober 2006 - 21:01

Maar hoe bewijs je dat die raaklijn daar 90° op staat?
Groeten.

De stelling:
De raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de voerstraal naar het raakpunt.
Gegeven zijn dus een raaklijn en een voerstraal naar het raakpunt.
Definitie van een raaklijn: Een raaklijn heeft één gemeenschappelijk punt (beter: twee samenvallende punten) met de cirkel. Een gevolg van deze definitie is dat geen enkel punt van de raaklijn binnen de cirkel valt.
Voor een punt binnen de cirkel geldt, dat de afstand tot het middelpunt kleiner is dan de straal van de cirkel.

Bewijs 'uit het ongerijmde': Neem aan dat de raaklijn l een punt P gemeenschappelijk heeft met de cirkel met middelpunt M en straal r.
Stel de raaklijn l staat niet loodrecht op de voerstraal naar P. Trek vanuit het middelpunt M van de cirkel een lijn loodrecht l en snijd deze met l in punt S, dan volgt uit de stelling van Pythaogoras, dat MS kleiner is dan MP, dus MS<r, maar dan is S een punt binnen de cirkel.
En dit is tegenspraak met de definitie van een raaklijn.
Einde bewijs.

Opm: Maak zelf een (passende) tekening.

#14

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 22 oktober 2006 - 10:43

Een ander bewijs gaat uit van symmetrie-eigenschappen.
De cirkel kan gedefiniëerd worden als de gesloten kromme met oneindig veel symmetrie-assen. Het snijpunt van deze symmetrie-assen is dan het middelpunt van de cirkel.
De lijn kan gedefiniëerd worden als de 'kromme' met oneindig veel symmetrie-assen loodrecht de kromme.
De combinatie van cirkel en lijn heeft echter precies één symmetrie-as door het middelpunt van de cirkel loodrecht de lijn.
De raaklijn is dan een bijzonder geval van deze combinatie.
Gevolg: De raaklijn aan een cirkel staat loodrecht de voerstraal naar het raakpunt!

Merk op dat de combinatie cirkel en 'middellijn' twee symmetrie-assen heeft.

#15

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 oktober 2006 - 11:12

Oké bedankt zo zal ik het zeker nooit meer vergeten.

Groeten.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures