Hoek bepalen.
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 2.589
Hoek bepalen.
Gegeven is volgende tekening:
Hoe kan ik er nu formeel achter komen dat de hoek vanboven tussen de twee stralen delta alfa is?
Ik heb het proberen aan te tonen door de rechte volledig linksonder zo te verplaatsen tot die horizontaal ligt. En dan in elke driehoek alles uit te rekenen om er zo uiteindelijk te geraken.
Echter ik denk dat het op een snellere en mss wel betere manier moet kunnen. Iemand enig idee?
Groeten. Dank bij voorbaat.
Hoe kan ik er nu formeel achter komen dat de hoek vanboven tussen de twee stralen delta alfa is?
Ik heb het proberen aan te tonen door de rechte volledig linksonder zo te verplaatsen tot die horizontaal ligt. En dan in elke driehoek alles uit te rekenen om er zo uiteindelijk te geraken.
Echter ik denk dat het op een snellere en mss wel betere manier moet kunnen. Iemand enig idee?
Groeten. Dank bij voorbaat.
- Berichten: 792
Re: Hoek bepalen.
de hoek
nu zijn P'Q en PQ beide raaklijnen, of anders :
\(PQP' = 180°-\Delta\alpha\)
nu zijn P'Q en PQ beide raaklijnen, of anders :
\(MP'Q=MPQ=90°\)
Maar in de driehoek MPQP' is de som der hoeken \(360°\)
, de vierde en laatste hoek P'MP is dus \(360°-90°-90°-(180°-\Delta\alpha)=\Delta\alpha\)
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Hoek bepalen.
Een andere (maar belangrijke) manier is:Bert F schreef:Gegeven is volgende tekening:
Hoe kan ik er nu formeel achter komen dat de hoek vanboven tussen de twee stralen delta alfa is?
Ik heb het proberen aan te tonen door de rechte volledig linksonder zo te verplaatsen tot die horizontaal ligt. En dan in elke driehoek alles uit te rekenen om er zo uiteindelijk te geraken.
Echter ik denk dat het op een snellere en mss wel betere manier moet kunnen. Iemand enig idee?
Groeten. Dank bij voorbaat.
Kijk eens goed naar de benen van de beide hoeken, dan moet duidelijk zijn dat ze paarsgewijs loodrecht op elkaar staan en dat betekent de hoeken zijn gelijk of elkaars supplement.
-
- Berichten: 2.589
Re: Hoek bepalen.
Oke ik begrijp de redenering van evilbu maar hij maakt gebruik van het feit dat
Louter intuïtief begrijp ik dat wel maar hoe kan je dat formeel bewijzen?
Safes redenering volgt dan waarschijnlijk éénmaal ik dit feit ken.
Groeten. Dank bij voorbaat.
\(MP\)
loodrecht op beide raaklijnen staan.Louter intuïtief begrijp ik dat wel maar hoe kan je dat formeel bewijzen?
Safes redenering volgt dan waarschijnlijk éénmaal ik dit feit ken.
Groeten. Dank bij voorbaat.
-
- Berichten: 4.502
Re: Hoek bepalen.
Nog een oplossing:
Trek de lijn MP'door en vorm eerst een kleine driehoek waarin delta Alfa in zit,de nieuw gevormde hoek is 90-Alfa (P")en wordt een nieuwe hoek in de driehoek PMP"
met ook een hoek van 90 gr.wegens de raaklijn.
De rest is wel te bedenken!
Trek de lijn MP'door en vorm eerst een kleine driehoek waarin delta Alfa in zit,de nieuw gevormde hoek is 90-Alfa (P")en wordt een nieuwe hoek in de driehoek PMP"
met ook een hoek van 90 gr.wegens de raaklijn.
De rest is wel te bedenken!
-
- Berichten: 2.589
Re: Hoek bepalen.
Jaja ik zie hoe stom ik ben geweest.
Maar hoe bewijs je dat die raaklijn daar 90° op staat?
Groeten.
Maar hoe bewijs je dat die raaklijn daar 90° op staat?
Groeten.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Hoek bepalen.
Dit is een stelling: de voerstraal naar het raakpunt van een raaklijn staat loodrecht op die raaklijn.Bert F schreef:Jaja ik zie hoe stom ik ben geweest.
Maar hoe bewijs je dat die raaklijn daar 90° op staat?
Groeten.
Wil je deze stelling bewezen zien?
-
- Berichten: 4.502
Re: Hoek bepalen.
Een aanvullende reactie:Bert F schreef:Jaja ik zie hoe stom ik ben geweest.
Maar hoe bewijs je dat die raaklijn daar 90° op staat?
Groeten.
Je uitgangspunten zijn:
M is middelpunt aangegeven cirkel met voerstralen naar P en P' ,waar raaklijnen langs getekend zijn en die staan altijd haaks op de voerstralen,dat hebben andere geleerden vele eeuwen geleden bewezen,moet jij niet meer doen!
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Hoek bepalen.
Daar kan ik het niet mee eens zijn! Een bewijs is altijd 'nuttig'.oktagon schreef:Een aanvullende reactie:Bert F schreef:Jaja ik zie hoe stom ik ben geweest.
Maar hoe bewijs je dat die raaklijn daar 90° op staat?
Groeten.
Je uitgangspunten zijn:
M is middelpunt aangegeven cirkel met voerstralen naar P en P' ,waar raaklijnen langs getekend zijn en die staan altijd haaks op de voerstralen,dat hebben andere geleerden vele eeuwen geleden bewezen,moet jij niet meer doen!
-
- Berichten: 4.502
Re: Hoek bepalen.
In oa.dit geval niet meer,omdat het bewijs gecopieerd kan worden en er kan worden gemanipuleerd met andere bewoordingen om toch hetzelfde verhaal te krijgen!
-
- Berichten: 2.589
Re: Hoek bepalen.
Ik zie het wel maar moest iemand er een formeel bewijs voor hebben dan zouw dat fijn zijn.
Net omdat het je dan het juiste inzicht geeft in de materie: hoe komt men er aan? hoe bewijst pmen het formeel?
En je dan helpt die zaken beter te onthouden.
Heeft dit ook iets te maken met bepaalde aanames van euclidische meetkunde? zo ja waar vindt ik een set essentieele bewijzen van daar ?
Groeten.
Net omdat het je dan het juiste inzicht geeft in de materie: hoe komt men er aan? hoe bewijst pmen het formeel?
En je dan helpt die zaken beter te onthouden.
Heeft dit ook iets te maken met bepaalde aanames van euclidische meetkunde? zo ja waar vindt ik een set essentieele bewijzen van daar ?
Groeten.
-
- Berichten: 4.502
Re: Hoek bepalen.
Dit kan volgens mij het grafisch bewijs zijn dat een raaklijn haaks staat op de voerstraal;de redenering is dat de hoek bij het middelpunt nadert tot nul,dus beide hoeken die aan de basis lijn van de driehoek gelegen zijn,naderen tot 90 graden op het ogenblik dat de basislijn niet meer door de cirkel snijdt,doch hem raakt,anders zou er nog een driehoek gevormd worden door twee voerstralen en de basis.Maar op het moment dat de twee voerstralen samen vallen kun je alleen nog het verlengde (vector!) van de basis zien en dat is de raaklijn!
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Hoek bepalen.
De stelling:Bert F schreef:Maar hoe bewijs je dat die raaklijn daar 90° op staat?
Groeten.
De raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de voerstraal naar het raakpunt.
Gegeven zijn dus een raaklijn en een voerstraal naar het raakpunt.
Definitie van een raaklijn: Een raaklijn heeft één gemeenschappelijk punt (beter: twee samenvallende punten) met de cirkel. Een gevolg van deze definitie is dat geen enkel punt van de raaklijn binnen de cirkel valt.
Voor een punt binnen de cirkel geldt, dat de afstand tot het middelpunt kleiner is dan de straal van de cirkel.
Bewijs 'uit het ongerijmde': Neem aan dat de raaklijn l een punt P gemeenschappelijk heeft met de cirkel met middelpunt M en straal r.
Stel de raaklijn l staat niet loodrecht op de voerstraal naar P. Trek vanuit het middelpunt M van de cirkel een lijn loodrecht l en snijd deze met l in punt S, dan volgt uit de stelling van Pythaogoras, dat MS kleiner is dan MP, dus MS<r, maar dan is S een punt binnen de cirkel.
En dit is tegenspraak met de definitie van een raaklijn.
Einde bewijs.
Opm: Maak zelf een (passende) tekening.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Hoek bepalen.
Een ander bewijs gaat uit van symmetrie-eigenschappen.
De cirkel kan gedefiniëerd worden als de gesloten kromme met oneindig veel symmetrie-assen. Het snijpunt van deze symmetrie-assen is dan het middelpunt van de cirkel.
De lijn kan gedefiniëerd worden als de 'kromme' met oneindig veel symmetrie-assen loodrecht de kromme.
De combinatie van cirkel en lijn heeft echter precies één symmetrie-as door het middelpunt van de cirkel loodrecht de lijn.
De raaklijn is dan een bijzonder geval van deze combinatie.
Gevolg: De raaklijn aan een cirkel staat loodrecht de voerstraal naar het raakpunt!
Merk op dat de combinatie cirkel en 'middellijn' twee symmetrie-assen heeft.
De cirkel kan gedefiniëerd worden als de gesloten kromme met oneindig veel symmetrie-assen. Het snijpunt van deze symmetrie-assen is dan het middelpunt van de cirkel.
De lijn kan gedefiniëerd worden als de 'kromme' met oneindig veel symmetrie-assen loodrecht de kromme.
De combinatie van cirkel en lijn heeft echter precies één symmetrie-as door het middelpunt van de cirkel loodrecht de lijn.
De raaklijn is dan een bijzonder geval van deze combinatie.
Gevolg: De raaklijn aan een cirkel staat loodrecht de voerstraal naar het raakpunt!
Merk op dat de combinatie cirkel en 'middellijn' twee symmetrie-assen heeft.
-
- Berichten: 2.589
Re: Hoek bepalen.
Oké bedankt zo zal ik het zeker nooit meer vergeten.
Groeten.
Groeten.