Springen naar inhoud

Hersenkraker: Meetkunde voor gevorderden!


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 25 november 2004 - 12:19

Neem een regelmatig vijfvlak. Teken daar een cirkel omheen. Hoeveel procent is de oppervlakte van die vijfhoek ten opzichte van de cirkel?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2


  • Gast

Geplaatst op 25 november 2004 - 12:20

Sorry: Vijfvlak moet vijfhoek zijn. (1 dimensionaal)

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 november 2004 - 12:36

De straal van de cirkel = de afstand van de vijf hoekpunten tot het midden = r
Oppervlakte cirkel = pi.gifr2
Oppervlakte vijfhoek = 5 * oppervlakte van gelijkbenige driehoek met hoek van 72o (en dus twee van 54o) en twee benen van lengte r
= 5 ∑ r∑sin(54o)∑r∑cos(54o) = 5r2∑V-2(1+V-5)V-(5-V-5)/16

Deze oppervlaktes gedeeld door elkaar = 5V-2(1+V-5)V-(5-V-5)/(16 :shock:) :?: 75.7 %
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 november 2004 - 12:37

Sorry: Vijfvlak moet vijfhoek zijn. (1 dimensionaal)

2 dimensionaal :shock:
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#5


  • Gast

Geplaatst op 25 november 2004 - 12:51

De straal van de cirkel = de afstand van de vijf hoekpunten tot het midden = r
Oppervlakte cirkel = pi.gifr2
Oppervlakte vijfhoek = 5 * oppervlakte van gelijkbenige driehoek met hoek van 72o (en dus twee van 54o) en twee benen van lengte r
= 5 ∑ r∑sin(54o)∑r∑cos(54o) = 5r2∑V-2(1+V-5)V-(5-V-5)/16

Deze oppervlaktes gedeeld door elkaar = 5V-2(1+V-5)V-(5-V-5)/(16 :shock:) :?: 75.7 %


De gelijkbenige driehoek heeft een hoek 180/5=36 graden. en de overige zijn dan (180-36)/2=72.

#6

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 november 2004 - 13:06

De gelijkbenige driehoek heeft een hoek 180/5=36 graden. en de overige zijn dan (180-36)/2=72.

Uhm, de punt (waar de twee gelijke benen samenkomen) heeft toch een hoek van 360/5 = 72o? De andere twee zijn dan 54o
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#7

frankjansons

    frankjansons


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 december 2004 - 22:43

Nee,

Denk maar aan een gelijkzijdige driehoek. Die heeft zijden 60 graden. 3 keer 60 is nogsteeds 180.

Er geldt dezelfde regel als die je gebruikt om de overige twee hoeken te bepalen. [180-(hoek)]/2.

#8

jaja

    jaja


  • >250 berichten
  • 259 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 december 2004 - 12:04

wel 72 graden hoor!
Je kijkt alsof je vuur ziet branden!

#9

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 december 2004 - 12:37

Er geldt dezelfde regel als die je gebruikt om de overige twee hoeken te bepalen. [180-(hoek)]/2.

Het ging om gelijkbenige driehoeken.
De vijf driehoeken liggen met de punten tegen elkaar aan in het midden, de hoek in die punt per driehoek is dus 360/5 = 72o.
De andere twee hoeken van iedere driehoek zijn (180-72)/2 = 54o, dat is de hoek die je gebruikt om de oppervlakte te bepalen.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#10

frankjansons

    frankjansons


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 december 2004 - 17:36

Sorry. Bij nader inzien heb je gelijk. Je moet idd uitgaan van 360 graden. Ik twijfelde daaraan, omdat je antwoord niet goed is. Je maakt dus ergens een rekenfoutje. De verhouding moet (5 sin(36) cos(36) ) / (pi)

en dat is ongeveel 75,68267286%

#11

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 december 2004 - 18:06

Wat was er niet goed dan, dat had ik toch staan? (ik gebruikte V- voor wortel)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#12

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 09 december 2004 - 12:48

Hallo,

Misschien kan ik nog een beetje helpen.
Het antwoord 75,7% is correct.
Natuurlijk gaat het om 5 congruente gelijkbenige driehoeken met tophoek 72 graden en benen r.
De opp. van zo'n driehoek is ook 1/2*r^2*sin(72į).
Maar niemand is verbaasd dat bv sin(54į)=(sqrt(5)+1)/4 en dat lijkt
mij(!) toch niet vanzelfsprekend.
Mvg,

W. van As

#13


  • Gast

Geplaatst op 14 december 2004 - 11:52

De opp. van zo'n driehoek is ook 1/2*r^2*sin(72į).
Maar niemand is verbaasd dat bv sin(54į)=(sqrt(5)+1)/4 en dat lijkt mij(!) toch niet vanzelfsprekend.

Ja die logica ontgaat mij ook een beetje.
Weet iemand hoe je op papier van sin(54į) bij (√5 + 1)/4 komt?
En van cos(54į) bij √(10 - 2∑√5)/4 ?

#14


  • Gast

Geplaatst op 14 december 2004 - 12:33

Ik zie het al (dankzij de display step functie in derive)
SIN(54į) = SIN((3/10)∑PI)
met SIN(n∑PI) = COS((1/2 - n)∑PI) geeft dat
SIN((3/10)∑PI) = COS(PI/5)

en van COS(PI/5) naar √5/4 + 1/4 is waarschijnlijk een som-/verschilformule (cos(x+y)=cosx∑cosy - sinx∑siny) ?

#15

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 december 2004 - 12:51

Ja die logica ontgaat mij ook een beetje.
Weet iemand hoe je op papier van sin(54į) bij (√5 + 1)/4 komt?

Als je een vijfhoek tekent met de punt naar boven, en dan 5 lijnen trekt uit elk punt naar het midden, noemen we de lengte van deze lijnen even 1. De punten noem je als volgt, met de klok mee, bovenaan beginnen: P,Q,R,S,T.
De coordinaten van deze punten kun je uitdrukken met 4 getallen a,b,c,d: P=(0,1) Q=(a,b) R=(c,-d) S=(-c,-d) T=(-a,b)

Nu weet je: a2+b2 = c2+d2 = 1 want ieder punt ligt op afstand 1 van het midden.
En ook: a2+(1-b)2 = (a-c)2+(b+d)2 = (2c)2 want opvolgende punten liggen even ver van elkaar.
De vier onbekenden a,b,c,d kun je uit deze vier vergelijkingen oplossen.
Enkel d is genoeg, want dat is de sinus van 54o (ga na in de tekening), en daar komt uit: (√5+1)/4

Als je de sinus van iets weet, kun je de cosinus bepalen met de regel sin2(x) + cos2(x) = 1.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures