Wiskunde

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Wiskunde

Bepaal de vergelijkig van de lijn die de grafiek van y=e^(2x) raakt en door het punt (2,0) gaat

Berichten: 7.068

Re: Wiskunde

Geef de algemene vergelijking van een lijn eens en teken de situatie eens...

Wat moet gelden zodat de lijn door (2,0) gaat en de kromme raakt?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Wiskunde

We willen de vergelijking van de raaklijn aan
\(f(x)=e^{2x}\)
bepalen, die door het punt
\((2,0)\)
gaat.

De algemene vergelijking van een raaklijn is
\(y=a\cdot x+b\)
.

De raaklijn heeft natuurlijk een helling die overeenkomt met de helling van f in het raakpunt.

De helling van f in het punt
\(x=k\)
komt overeen met de afgeleide van van f in het punt k:
\(f'(x)=2e^{2x}\)
en
\(f'(k)=2e^{2k}\)
.

In de algemene formule is a dus gelijk aan
\(2e^{2k}\)
.

Deze lijn moet zowel door het punt
\((2,0)\)
als door het punt
\((k,e^{2k})\)
gaan. Daarom krijgen we twee vergelijkingen:
\((2e^{2k})\cdot 2+b=0\)
\((2e^{2k})\cdot k+b=e^{2k}\)
b is natuurlijk b, dus we krijgen
\(b=-4e^{2k}\)
\(b=e^{2k}-2\cdot ke^{2k}\)
oftewel
\(-4e^{2k}=e^{2k}-2\cdot ke^{2k}\)
\(5e^{2k}=2k\cdot e^{2k}\)
\(5=2k\)
\(k=\frac{5}{2}\)
Nu rekenen we b uit:
\(b=-4e^{2k}\)
dus
\(b=-4e^{5}\)
Vervolgens:
\(y=a\cdot x+b\)
\(y=2e^{5}\cdot x+b\)
waarbij we voor x en y (2,0) invullen:
\(0=(2e^{5})\cdot 2+b\)
\(4e^{5}+b=0\)
dus
\(b=-4e^{5}\)
Nu hebben we a en b dus het antwoord wordt:
\(y=a\cdot x+b\)
\(y=2e^{5}\cdot x-4e^{5}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.556

Re: Wiskunde

Ik weet dat bij huiswerk beter niet het antwoord gegeven moet worden, maar dat men in de goede richting moet worden geduwd.

Ik had alleen even zin om mijn LaTeX skills te testen en heb hem daarom maar volledig uitgewerkt.

Als je het nu maar begrijpt :wink:

edit: ik zie dat ik dom ben geweest door twee keer b uit te rekenen. Het volledige, goede antwoord is

----------------------------------------------------------------------------------------------

We willen de vergelijking van de raaklijn aan
\(f(x)=e^{2x}\)
bepalen, die door het punt
\((2,0)\)
gaat.

De algemene vergelijking van een raaklijn is
\(y=a\cdot x+b\)
.

De raaklijn heeft natuurlijk een helling die overeenkomt met de helling van f in het raakpunt.

De helling van f in het punt
\(x=k\)
komt overeen met de afgeleide van van f in het punt k:
\(f'(x)=2e^{2x}\)
en
\(f'(k)=2e^{2k}\)
.

In de algemene formule is a dus gelijk aan
\(2e^{2k}\)
.

Deze lijn moet zowel door het punt
\((2,0)\)
als door het punt
\((k,e^{2k})\)
gaan. Daarom krijgen we twee vergelijkingen:
\((2e^{2k})\cdot 2+b=0\)
\((2e^{2k})\cdot k+b=e^{2k}\)
b is natuurlijk b, dus we krijgen
\(b=-4e^{2k}\)
\(b=e^{2k}-2\cdot ke^{2k}\)
oftewel
\(-4e^{2k}=e^{2k}-2\cdot ke^{2k}\)
\(5e^{2k}=2k\cdot e^{2k}\)
\(5=2k\)
\(k=\frac{5}{2}\)
Nu rekenen we b uit:
\(b=-4e^{2k}\)
dus
\(b=-4e^{5}\)
We hebben nu a en b dus:
\(y=a\cdot x+b\)
\(y=2e^{5}\cdot x-4e^{5}\)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Wiskunde

Bepaal de vergelijkig van de lijn die de grafiek van y=e^(2x) raakt en door het punt (2,0) gaat
"Bepaal de vergelijking van de lijn die de grafiek van y=e^(2x) raakt en door het punt (2,0) gaat."

Bedenk dat een raaklijn l aan y in een punt (x1,y1) van de grafiek een rc heeft bepaald door de afgeleide van y naar x. Noteer de verg van een lijn l met deze rc door het punt (x1,y1).

Deze lijn bevat dus de (te bepalen) onbekenden x1 en y1 naast de variabelen x en y. Er zijn nu 2 voorwaarden:

(1) Het punt (x1,y1) ligt op de grafiek.

(2) Het punt (2,0) ligt op de raaklijn l.

Dit geeft twee verg met alleen x1 en y1. Dit stelsel zal je moeten oplossen.

Reageer