Wiskunde
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 7.072
Re: Wiskunde
Geef de algemene vergelijking van een lijn eens en teken de situatie eens...
Wat moet gelden zodat de lijn door (2,0) gaat en de kromme raakt?
Wat moet gelden zodat de lijn door (2,0) gaat en de kromme raakt?
- Berichten: 7.556
Re: Wiskunde
We willen de vergelijking van de raaklijn aan
De algemene vergelijking van een raaklijn is
De raaklijn heeft natuurlijk een helling die overeenkomt met de helling van f in het raakpunt.
De helling van f in het punt
In de algemene formule is a dus gelijk aan
Deze lijn moet zowel door het punt
\(f(x)=e^{2x}\)
bepalen, die door het punt \((2,0)\)
gaat. De algemene vergelijking van een raaklijn is
\(y=a\cdot x+b\)
. De raaklijn heeft natuurlijk een helling die overeenkomt met de helling van f in het raakpunt.
De helling van f in het punt
\(x=k\)
komt overeen met de afgeleide van van f in het punt k: \(f'(x)=2e^{2x}\)
en \(f'(k)=2e^{2k}\)
. In de algemene formule is a dus gelijk aan
\(2e^{2k}\)
.Deze lijn moet zowel door het punt
\((2,0)\)
als door het punt \((k,e^{2k})\)
gaan. Daarom krijgen we twee vergelijkingen:\((2e^{2k})\cdot 2+b=0\)
\((2e^{2k})\cdot k+b=e^{2k}\)
b is natuurlijk b, dus we krijgen\(b=-4e^{2k}\)
\(b=e^{2k}-2\cdot ke^{2k}\)
oftewel\(-4e^{2k}=e^{2k}-2\cdot ke^{2k}\)
\(5e^{2k}=2k\cdot e^{2k}\)
\(5=2k\)
\(k=\frac{5}{2}\)
Nu rekenen we b uit:\(b=-4e^{2k}\)
dus \(b=-4e^{5}\)
Vervolgens: \(y=a\cdot x+b\)
\(y=2e^{5}\cdot x+b\)
waarbij we voor x en y (2,0) invullen:\(0=(2e^{5})\cdot 2+b\)
\(4e^{5}+b=0\)
dus \(b=-4e^{5}\)
Nu hebben we a en b dus het antwoord wordt:\(y=a\cdot x+b\)
\(y=2e^{5}\cdot x-4e^{5}\)
- Berichten: 7.556
Re: Wiskunde
Ik weet dat bij huiswerk beter niet het antwoord gegeven moet worden, maar dat men in de goede richting moet worden geduwd.
Ik had alleen even zin om mijn LaTeX skills te testen en heb hem daarom maar volledig uitgewerkt.
Als je het nu maar begrijpt
edit: ik zie dat ik dom ben geweest door twee keer b uit te rekenen. Het volledige, goede antwoord is
----------------------------------------------------------------------------------------------
We willen de vergelijking van de raaklijn aan
De algemene vergelijking van een raaklijn is
De raaklijn heeft natuurlijk een helling die overeenkomt met de helling van f in het raakpunt.
De helling van f in het punt
In de algemene formule is a dus gelijk aan
Deze lijn moet zowel door het punt
Ik had alleen even zin om mijn LaTeX skills te testen en heb hem daarom maar volledig uitgewerkt.
Als je het nu maar begrijpt
edit: ik zie dat ik dom ben geweest door twee keer b uit te rekenen. Het volledige, goede antwoord is
----------------------------------------------------------------------------------------------
We willen de vergelijking van de raaklijn aan
\(f(x)=e^{2x}\)
bepalen, die door het punt \((2,0)\)
gaat. De algemene vergelijking van een raaklijn is
\(y=a\cdot x+b\)
. De raaklijn heeft natuurlijk een helling die overeenkomt met de helling van f in het raakpunt.
De helling van f in het punt
\(x=k\)
komt overeen met de afgeleide van van f in het punt k: \(f'(x)=2e^{2x}\)
en \(f'(k)=2e^{2k}\)
. In de algemene formule is a dus gelijk aan
\(2e^{2k}\)
.Deze lijn moet zowel door het punt
\((2,0)\)
als door het punt \((k,e^{2k})\)
gaan. Daarom krijgen we twee vergelijkingen:\((2e^{2k})\cdot 2+b=0\)
\((2e^{2k})\cdot k+b=e^{2k}\)
b is natuurlijk b, dus we krijgen\(b=-4e^{2k}\)
\(b=e^{2k}-2\cdot ke^{2k}\)
oftewel\(-4e^{2k}=e^{2k}-2\cdot ke^{2k}\)
\(5e^{2k}=2k\cdot e^{2k}\)
\(5=2k\)
\(k=\frac{5}{2}\)
Nu rekenen we b uit:\(b=-4e^{2k}\)
dus \(b=-4e^{5}\)
We hebben nu a en b dus:\(y=a\cdot x+b\)
\(y=2e^{5}\cdot x-4e^{5}\)
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Wiskunde
"Bepaal de vergelijking van de lijn die de grafiek van y=e^(2x) raakt en door het punt (2,0) gaat."Bepaal de vergelijkig van de lijn die de grafiek van y=e^(2x) raakt en door het punt (2,0) gaat
Bedenk dat een raaklijn l aan y in een punt (x1,y1) van de grafiek een rc heeft bepaald door de afgeleide van y naar x. Noteer de verg van een lijn l met deze rc door het punt (x1,y1).
Deze lijn bevat dus de (te bepalen) onbekenden x1 en y1 naast de variabelen x en y. Er zijn nu 2 voorwaarden:
(1) Het punt (x1,y1) ligt op de grafiek.
(2) Het punt (2,0) ligt op de raaklijn l.
Dit geeft twee verg met alleen x1 en y1. Dit stelsel zal je moeten oplossen.