differentiaalvergelijking

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 49

differentiaalvergelijking

Met T(t) de temperatuur van het lichaam en To de omgevingstemperatuur.

Een voorwerp heeft een temperatuur van 40 °C.

Het duurt 30 minuten voordat het is afgekoeld tot 10 °C als het wordt geplaatst in een ruimte met een constante temperatuur van 4 °C. Bereken de waarde van k.
\(\frac{d}{dt}*T(t)=k*(T(t)-To)\)
Kies een van de volgende antwoorden:

k ligt in het interval [-0.1 , -0.0]

k ligt in het interval [-0.2 , -0.1]

k ligt in het interval [-0.3 , -0.2]

k ligt in het interval [0.0 , 0.1]

k ligt in het interval [0.1 , 0.2]

k ligt in het interval [0.2 , 0.3]

Hoe los ik dit op?

Berichten: 7.068

Re: differentiaalvergelijking

Hoe los ik dit op?
Los de differentiaalvergelijk op.

Stel hiermee twee vergelijkingen op (beginsituatie en eindsituatie).

Elimineer alle variabelen behalve k uit deze vergelijkingen door de ene in de andere te substitueren.

Je hebt nu een vergelijking voor begin- of eindtemperatuur die alleen afhankelijk is van k. Maak een plot van deze functie in het gegeven domein.

Zoek de k die overeenkomt met de begin- of eindtemperatuur (afhankelijk van welke vergelijking je hebt gebruikt).

Ik ga er trouwens vanuit dat t in minuten is en T in graden Celsius (omdat je dan een antwoord in de gewenste range krijgt).

Berichten: 49

Re: differentiaalvergelijking

Zoiets?
\(T(t) = To+\exp(k*t)*C1\)


Maar verder kan ik je niet volgen

Berichten: 7.068

Re: differentiaalvergelijking

Xtreme schreef:Zoiets?
\(T(t) = To+\exp(k*t)*C1\)
Ja, zoiets. Sterker nog precies dat.

Omdat ik ergens een foutje had gemaakt, werd mijn uitwerking iets lastiger. Als je dat niet doet, kan het veel simpeler zoals ik nu aan je antwoord zie.

Je weet dat:
\(T(0) = 40\)
\(T(30) = 10\)
\(T(t) = T_o + A e^{k t}\)
Met de eerste en de derde vergelijking kun je A bepalen.

Met die A, de tweede en de derde vergelijking kun je dan k bepalen.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: differentiaalvergelijking

Xtreme schreef:Zoiets?
\(T(t) = To+\exp(k*t)*C1\)


Maar verder kan ik je niet volgen
Wat verwacht je van k, is k pos of neg?

Vul in wat je weet:

t=0 => T=...

t=30 => T=...

Wat denk je van T als t onbeperkt groot is, maw To=...

Berichten: 49

Re: differentiaalvergelijking

Ik verwacht dat k negatief is.

Als T oneindig groot is geen idee.

Berichten: 49

Re: differentiaalvergelijking

\(40 = 40 + \exp(k*0)*C1\)
\(10=40+\exp(k*10)*C1\)

Berichten: 7.068

Re: differentiaalvergelijking

Xtreme schreef:
\(40 = 40 + \exp(k*0)*C1\)
\(10=40+\exp(k*10)*C1\)
De omgevingstemperatuur was 4, niet 40!

verder heb je hier twee vergelijkingen en twee onbekenden... moet wel lukken dus. :)

Berichten: 7.068

Re: differentiaalvergelijking

\(40 = 4 + \exp(k*0)*C_1\)
dan:
\(36 = C_1 \cdot e^{k \cdot 0} = C_1 \cdot e^0 = C_1\)

Berichten: 49

Re: differentiaalvergelijking

\(f1 := 40 = 4+C1\)
\(f2 := 10 = 4+\exp(30*k)*C1\)
Hieruit volgt:
\(C1 := 36\)
Deze dan invullen
\(10 = 4+36*\exp(30*k)\)
Volgens mij wordt het dan:
\(-1/30*\ln(6) ==> -.5972531564e-1 \)
Dit is dus berijk -0.1 tot -0.0

Eens of niet eens?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: differentiaalvergelijking

Xtreme schreef:
\(f1 := 40 = 4+C1\)
\(f2 := 10 = 4+\exp(10*k)*C1\)
Hieruit volgt:
\(C1 := 36\)
Deze dan invullen
\(10 = 4+36*\exp(10*k)\)
Volgens mij wordt het dan:
\(-1/10*\ln(6) ==> -.1791759469 \)
Dit is dus berijk -0.2 tot -0.1

Eens of niet eens?
Niet mee eens!
\(10 = 4+36*\exp(30*k)\)
\(6 = 36*\exp(30*k)\)
\(1/6 = \exp(30*k)\)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: differentiaalvergelijking

Zo krijg je k = -ln(6)/30, bij benadering k = -0.06. Dus?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer