Okay, in mijn statistiekboek staat het volgende:
X en Y zijn continuous met de joint density function
\(f\)
en
\(Z = Y/X\)
. Dan is
\(F_{z} = P(Z \leq z) \)
de kans van de set
\((x,y)\)
zo dat
\(y/x \leq z\)
. Als
\(x>0\)
is dit de set
\(y \leq xz\)
en als
\(x<0\)
is dit de set
\(y \geq xz\)
.
Dus:
\(F_{z} = \int_{-\infty}^{0} \int_{xz}^{\infty} f(x,y)dydx + \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{xz} f(x,y)dydx\)
Om de afhankelijkheid aan x van de binnenste integralen te verwijderen, doen we een verandering van variabelen
\(y = xv\)
in de binnenste integralen en krijgen het volgende:
\(F_{z} = \int_{-\infty}^{0} \int_{z}^{-\infty} xf(x,xv)dvdx + \int_{0}^{\infty} \int_{-\infty}^{z} xf(x,xv)dvdx\)
Ik hoop dat dit een beetje te volgen is. Zo staat het gegeven in mijn boek, maar dan in het engels.
Wat ik niet snap is hoe ze aan deze nieuwe limieten van de binnenste integraal komen. Die x krijg ik er zelf nog wel uit, maar verder..
