Springen naar inhoud

Multi-dimensionale bol


  • Log in om te kunnen reageren

#1

bats

    bats


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2004 - 17:36

Ik heb een vraag waar ik mij het hoofd over breek.
Ik vond namelijk op het internet een artikel over de oppervlakte en de inhoud berekenen van een multi-dimensionale bol, ofwel een bol met meerdere dimensies.


Als formule voor het berekenen van een n-dimensionale bol vond ik:

Sn=((2pi^n/2)/gamma(n/2))xR^n-1. Waarbij:gamma(n/2)=(n/2-1)! als n/2 E N en gamma(n/2)=((n-2)!wortel pi)/2^((n-1)/2).

Het volume is Vn= 0{R Sn[dr]=((pi^(n/2))/gamma(n/2+1))/R^n

0{R moet hier de integraal voorstellen tussen 0 en R

Een vijfdimensionale bol heeft dus een vier-dimensionaal oppervlak.

Goed hoe ze die formule gevonden mogen hebben is wel knap, maar volgens mij klopt die formule toch niet. Want als ik nou voor n=3, een 3-dimensionale bol met een 2-dimensionaal oppervlak invul krijg ik:

Sn=((2pi^3/2)/gamma(3/2))xR^3-1. Waarbij gamma(3/2)=(3/2-1)! als n/2 E van N en gamma(3/2)=((3-2)!wortelpi)/2^((3-1)/2).

Wat krijg ik dan voor Sn als R(de straal)1is:17,77153175

Maar de oppervlakte van een 3d-bol met een 2d opp is 4pi(R^2)
Invullen als R 1 is geeft 4pi*1^2=12,56637061, dat is een heel ander antwoord van wat ik heb berekend via de multidimensionale methode zoals hierboven.
Mijn vraag is hoe werkt die formule hierboven en wat doe ik hierboven eigenlijk fout?
En hoe werkt dat met de inhoud?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 december 2004 - 18:47

Heb je ook een link naar dit artikel.

Indien gamma daadwerkelijk de gammafunctie is, dan kan het daar wel eens misgaan.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#3

bats

    bats


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2004 - 19:40

Heb je ook een link naar dit artikel.

Indien gamma daadwerkelijk de gammafunctie is, dan kan het daar wel eens misgaan.


Ja, kijk maar op http://www.science.u...20Dimensies.pdf

Gepubliceerd door Jorn Mossel (volgens mij)

#4

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 december 2004 - 08:58

Sn=((2pi^n/2)/gamma(n/2))xR^n-1. Waarbij:gamma(n/2)=(n/2-1)! als n/2 E N en gamma(n/2)=((n-2)!wortel pi)/2^((n-1)/2).


n=3 en R=1:

Sn = ((2pi^3/2)/gamma(3/2))x1^3-1

Weet dat gamma(3/2) = wortel[pi]/2 = Pi^(1/2) / 2

Dus:

Sn = 2 Pi^(3/2) / [Pi^(1/2) / 2] = 4 Pi.

Klopt toch met het oppervlak van een 3-bol?
Never underestimate the predictability of stupidity...

#5

bats

    bats


  • >250 berichten
  • 411 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 december 2004 - 21:53

Sn=((2pi^n/2)/gamma(n/2))xR^n-1. Waarbij:gamma(n/2)=(n/2-1)! als n/2 E N en gamma(n/2)=((n-2)!wortel pi)/2^((n-1)/2).


n=3 en R=1:

Sn = ((2pi^3/2)/gamma(3/2))x1^3-1

Weet dat gamma(3/2) = wortel[pi]/2 = Pi^(1/2) / 2

Dus:

Sn = 2 Pi^(3/2) / [Pi^(1/2) / 2] = 4 Pi.

Klopt toch met het oppervlak van een 3-bol?



En toch begrijp ik het niet helemaal, want Pi^1/2/2 is toch Pi^1/4?
Zou je me dan kunnen uitleggen hoe je aan het antwoord komt?

#6

einstone

    einstone


  • >100 berichten
  • 166 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 december 2004 - 22:39

want Pi^1/2/2 is toch Pi^1/4

( pi^(1/2) ) / 2

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 07 december 2004 - 19:42

Hallo Bats,

Ik ben bang dat de tweede formule voor gamma niet juist is, want als je het volume V3 berekent krijg je geen 4/3*Pi*R^3.
Voor gamma schrijf ik maar even G. In de noemer staat
G(5/2)=3!*sqrt(Pi)/4=3/2*sqrt(Pi), dat geeft V3=2/3*Pi*R^3.
Het moet zijn G(n/2+1)=(2n)!*sqrt(Pi)/(n!*2^(2n)) voor n pos geheel.
De verzameling N zijn hier de positief gehele getallen.
Mvg,

Safe





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures