Springen naar inhoud

Bewijs bij het maken van alle positieve gehele getallen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Freek Wiskunde

    Freek Wiskunde


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 november 2006 - 19:30

Hallo,

ik zit met een probleem waar ik niet weet waar ik zou moeten beginnen, nl. het volgende:
Beginnend bij 4 kun je alle positieve gehele getallen maken door:
1. x 10
2. x 10 + 4
3. :2 (als het getal even is)

Ik heb dit door de getallen 1 t/m 100 zelf op te schrijven door 1 van de bovenstaande punten toe te passen en dit is mij wel gelukt.
Maar hoe moet ik met de bewijs zelf dan beginnen?
Iemand enig idee?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 03 november 2006 - 11:48

Voor ik mijn vingers eraan brand wil ik weten
hoe je kunt weten dat dat altijd kan.
Heb je dit probleem zelf bedacht, of heb je het ergens gelezen?

#3

StrangeQuark

    StrangeQuark


  • >1k berichten
  • 4160 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 november 2006 - 11:55

Ik dacht dat ik ooit eens mijn wiskunde docent Lineaire Algebra 2 eens over dit soort probleempjes heb gehoort, dat die verdomt lastig te bewijzen zijn, in de fundamentele getaltheorie.
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.

#4

Freek Wiskunde

    Freek Wiskunde


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 november 2006 - 13:27

Ik heb die ergens in een boek van de Universiteit gelezen.

Dus waarschijlijk bestaat er wel een bewijs hiervoor.

#5

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 04 november 2006 - 12:03

Ik snap de vraag denk ik niet precies.
Geef eens aan hoe je op 6 komt of op 8.

#6

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 november 2006 - 12:06

Ik snap de vraag denk ik niet precies.
Geef eens aan hoe je op 6 komt of op 8.

4, 2, 24, 12, 6, 64, 32, 16, 8.

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 04 november 2006 - 14:08

Stel k is het kleinste getal dat niet aldus gevormd kan worden.

Dan is k :) 5m (k is geen 5-voud), want anders zou m<k zijn en dus gevormd kunnen worden, en dus ook 10m, en dus ook 5m (= k). Conflict.

k ;) 5m + 1, want anders is 2m<k dus 2m is te vormen en dus ook 10.2m+4, en dus ook 10m + 2 en dus ook 5m + 1 (= k). Weer een conflict.

k :) 5m + 2, want anders is m<k te vormen en dus ook 10m + 4, en dus ook 5m + 2 (= k). Conflict.

k :) 5m + 3, want anders is 4m + 2<k te vormen, en dus ook 10(4m + 2) + 4 = 40m + 24, en dus ook 20m + 12 en ook 10m + 6 en 5m + 3 (= k). Weer een conflict.

k :) 5m + 4. Dat laat ik aan jou over.

#8

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 november 2006 - 15:34

k :) 5m + 4. Dat laat ik aan jou over.

Lukt dit ook zonder dit geval op te splitsen in een m=even en een m=oneven geval?

#9

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 05 november 2006 - 03:57

Als k = 5m + 4 en m = 2n, dan kan n (<k) worden gevormd en dus ook 10n + 4 (= k). Conflict, dus m = 2n + 1 en k = 10n + 9.
Dan kan 8n + 7(<k) worden gevormd.
Nu is 8n + 7 oneven en is dus niet rechtstreeks de uitkomst van de bewerking x10 en ook niet van de bewerking x10 + 4, dus is het rechtstreeks de uitkomst van de bewerking :2. Dus kan blijkbaar ook 2(8n + 7) = 16n + 14 worden gevormd, en ook 10(16n + 14) + 4 = 160n + 144, en dus ook (herhaald delen door 2) 80n + 72, 40n + 36, 20n + 18 en 10n + 9 = k. Conflict.

Dus alle natuurlijke getallen kunnen worden gevormd.

#10

Freek Wiskunde

    Freek Wiskunde


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 december 2006 - 11:52

Maar is dit dat echt een bewijs op de vraagstelling:

Beginnend bij 4 kun je alle positieve gehele getallen maken door:
1. x 10
2. x 10 + 4
3. :2 (als het getal even is)

Het gaat echt erom dat je met het getal 4 begint bij het maken van alle getallen

#11

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 03 december 2006 - 12:18

Het bewijs gaat uit van startwaarde 1.
Uitgaande van startwaarde 4 kun je in 2 stappen 1 maken.
Dus daar het bewijs geleverd is met startwaarde 1 is het tevens een bewijs voor startwaarde 4 (of elke andere macht van 2).

#12

Tim van P.

    Tim van P.


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 december 2006 - 21:15

Huh?

Ik begrijp er niks van.

Iemand die mij dit stap voor stap kan uitleggen. Waarom gebruiken we opeens 5m. Waar komt die vandaan? Waarom een 5-voud en niet een ander?

k 5m + 1, want anders is 2m<k dus 2m is te vormen en dus ook 10.2m+4, en dus ook 10m + 2 en dus ook 5m + 1 (= k). Weer een conflict.

Waar jin deze 2m vandaan?

Misschien iemand die mij dit duidelijk kan maken of iemand met een ander bewijs?

Alvast bedankt!
Tim

#13

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 december 2006 - 21:22

Iemand die mij dit stap voor stap kan uitleggen. Waarom gebruiken we opeens 5m. Waar komt die vandaan? Waarom een 5-voud en niet een ander?

Omdat de regels *10 en /2 doen, en dat ruikt heel erg naar een vijfvoud. Je kunt ook best van een 3-voud of 11-voud uitgaan, maar dan mis je de relatie met de regels, en dan wordt het heel lastig want daar moet je toch je bewijs op baseren.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#14

Tim van P.

    Tim van P.


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 december 2006 - 21:37

OK!....Dit is nu duidelijk.

Maar ik zie nog steeds geen relatie in het bewijs met de vraagstelling.

Misschien wat meer uitleg voor mij?

Bedankt!
Tim





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures