Springen naar inhoud

Bewijs ivm limieten en continu´teit


  • Log in om te kunnen reageren

#1

raintjah

    raintjah


  • >250 berichten
  • 824 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 november 2006 - 11:16

Hoi,

in mijn cursus staat het volgende bewijs:

Beschouw een functie f: A  :) :)n --> :)m en een ophopingspunt a van A dat tot A behoort. Dan zijn volgende uitspraken equivalent:

(1) f is continu in a.
(2) lima f = f(a)


Bewijs:

(1) => (2)

...
dit deel is niet belangrijk voor jullie denk ik

(2) => (1)

Veronderstel omgekeerd dat lima f = f(a). Kies een willekeurige rij (xk)k[element]:) in A die naar a convergeert. We maken onderscheid tussen twee gevallen.

Geval 1:

...
dit deel is niet belangrijk voor jullie denk ik

Geval 2:

xk is verschillend van a (*) voor oneindig veel waarden van k. We bouwen dan een nieuwe rij (yk)k[element]:) in A als volgt. Zij k1 de kleinste waarde van k waarvoor xk ;) a; stel y1 = xk1. Zij k2 de tweede kleinste waarde van k waarvoor xk [ongelijk]a; stel y2=xk2 .... We verkrijgen zo een rij (yk)k[element]:) door daarin de termen die gelijk zijn aan a(**), te schrappen en de overgebleven termen te hernummeren.

...
Er komt nog wat achter het bewijs maar dat is hier niet belangrijk


Mijn probleem zit hem bij (*) en (**). Bij (**) schrapt men de termen gelijk aan a, terwijl men in (*) zegt dat xk verschillend is van a voor oneindig veel waarden..

Kan iemand duidelijk scheppen?
alvast bedankt!
Be careful whose advice you buy, but be patient with those who supply it.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 06 november 2006 - 12:34

Blijkbaar wordt in dat leerboek in de definitie van continuiteit het verdichtingspunt niet meegenomen. De continu´teit van f zal wel zˇ gedefinieerd zijn:
Voor alle epsilon.gif>0 is er een delta.gif>0 zo dat voor alle x uit het domein met 0<|x-a|<delta.gif geldt |f(x)-f(a)|<epsilon.gif.

#3

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 november 2006 - 12:47

De continu´teit van f zal wel zˇ gedefinieerd zijn:
Voor alle  epsilon.gif>0 is er een delta.gif>0 zo dat voor alle x uit het domein met 0<|x-a|<delta.gif geldt |f(x)-f(a)|<epsilon.gif.

Dit is toch de definitie van een limiet?

Moet dit niet zijn: f(x) is continue in a als f(x) gedefinieerd is op x=a, de limiet van x naar a van f bestaat en bovendien deze limiet gelijk is aan f(a)?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 november 2006 - 20:53

Die formulering klopt, al zit het 'bestaan' eigenlijk al vervat in je laatste puntje; als de limiet gelijk is aan f(a) (hetgeen bestaat volgens puntje 1), dan bestaat de limiet uiteraard.

In de epsilon-delta definitie kan het stuk "0<" in "0<|x-a|<..." weggelaten worden (staat er wel bij de definitie van de limiet).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures