Springen naar inhoud

Oneerlijk


  • Log in om te kunnen reageren

#1

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 04 november 2006 - 11:32

Jantje en Mieke gooien telkens een muntstuk op. Mieke heeft met haar scherpe tandjes dit muntstuk stiekem verbogen, zodat de kans op kop 51% is en de kans op munt 49% is. Zij spelen het volgende spelletje: bij kop moet Jantje aan Mieke 1 euro betalen bij munt moet Mieke aan Jantje 1 euro betalen.Jantje begint met 25 euro, Mieke met 10 euro.Ze spelen tot iemand van de twee geen geld meer heeft.
Hoe groot is de kans dat Jantje wint?
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 06 november 2006 - 13:41

Als p(n) de kans is dat Jantje uiteindelijk wint als hij nu n Euro heeft.
Dan is p(n) = 0,49p(n+1) + 0,51p(n-1).
De randvoorwaarden zijn p(0) = 0 en p(35) = 1.
Gevraagd is p(25).

Uit p(n) = 0,49p(n+1) + 0,51p(n-1) en p(0) = 0 volgt:
p(n) = a((51/49)n - 1).

n = 35 invullen geeft a = 0,3272... .
Dus p(25) = 56,24%.

#3

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 06 november 2006 - 19:46

Het kan juist zijn, maar ik begrijp je tweede lijn niet.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#4

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 november 2006 - 20:45

Het kan juist zijn

Dat is het ook (na de correctie die PeterPan heeft gedaan voor ik hem kon verbeteren [rr] ).

maar ik begrijp je tweede lijn niet.

LaTeX
In woorden: De kans dat je uiteindelijk wint als je n euro hebt is gelijk aan de kans dat je de volgende tos wint maal de kans dat je uiteindelijk wint als je n+1 euro hebt plus de kans dat je de volgende tos verliest maal dat je uiteindelijk wint als je n-1 euro hebt.

#5

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 07 november 2006 - 10:29

Ik heb er lopen over nadenken, maar ik begrijp het niet. Het zal wel aan mij liggen, te weinig grijze stof. :)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#6

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 november 2006 - 11:00

Ik heb er lopen over nadenken, maar ik begrijp het niet.

Misschien helpt dit:
Er zijn twee spellen. Bij het eerste spel tos je drie keer en win je als je 3 keer munt gooit. De kans op winst is dus LaTeX . Bij het tweede spel tos je 5 keer en win je als je 5 keer munt gooit. De kans op winst bij dit spel is dus LaTeX .

Nu komt spellenguru Henkie en hij zegt een nieuw spel bedacht te hebben. Dit spel is een combinatie van de twee eerdere spellen. Je tost een muntstuk en als het munt is dan speel je spel 1 en als het kop is dan speel je spel 2. De vraag is nu wat de winstkans is voor dit nieuwe spel.

Als je in dit nieuwe spel met je eerste worp munt gooit, dan ga je spel 1 spelen. Je weet dat de kans dat je dus spel 1 gaat spelen gelijk is aan LaTeX . De kans dat je spel 1 gaat spelen en daarna wint is dan dus:
LaTeX
Een zelfde verhaal is te houden voor de eerste keer kop gooien. De kans om de eerste keer kop te gooien en dan spel 2 te winnen is:
LaTeX

Het nieuwe spel win je als je munt gooit en daarna spel 1 wint en als je kop gooit en daarna spel 2 wint. De kans op winst is dus:
LaTeX


Nu gaan we de stap maken naar de oorspronkelijke situatie. Er bestaan 2 spellen: het spel waarbij je met n-1 euro begint en het spel waarbij je met n+1 euro begint. De kansen op winst bij deze spellen schrijven we respectievelijk als p(n-1) en p(n+1). Er wordt nu een nieuw spel bedacht: het spel waarbij je met n euro begint en er wordt nu gevraagd wat je winstkans is.

Als je de eerste keer een euro in moet leveren dan heb je dan nog maar n-1 euro. Je bent vanaf dat moment dus eigenlijk het n-1 spel aan het spelen. Hiervan weet je de kans. De kans dat je dus een euro verliest en daarna het n-1 spel wint is:
LaTeX
Als je de eerste keer een euro wint dan heb je n+1 euro. Je bent dan dus beland in het n+1 spel. De kans dat je de eerste tos wint en daarna het n+1 spel wint is:
LaTeX
De kans dat je het n euro spel wint is de som van deze twee kansen:
LaTeX

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 07 november 2006 - 11:10

p(n) is de kans is dat Jantje uiteindelijk wint als hij nu n Euro heeft.
Wat je wilt berekenen is p(25), dat is de kans dat Jantje uiteindelijk wint als hij nu 25 Euro heeft.
Dat is het geval als het spelletje start.
Stel hij heeft 25 Euro.
De munt wordt opgegooid. Resultaat (zeg) munt.
Dan heeft Jantje nog maar 24 Euro.
Het is dan nog lang niet verloren voor Jantje. Wat is op dat moment de kans dat Jantje uiteindelijk zal winnen? p(24)!
En als de uitkomst kop was geweest i.p.v. munt, dan had Jantje 26 Euro gehad.
De kans dat hij in die situatie zal winnen is groter geworden, want hij heeft al een munt gewonnen. Die kans ken ik, die is n.l. p(26).
Dus nog eens voor de duidelijkheid:
Met kans 0,51 gooit Jantje munt en wint dan uiteindelijk met kans p(24)
en met kans 0,49 gooit Jantje kop en wint dan uiteindelijk met kans p(26).
Kortom p(25) = 0,51p(24) + 0,49p(26).

#8

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 07 november 2006 - 11:21

Bedankt voor de vlugge reacties. Ik heb de twee reacties maar vluchtig kunnen lezen maar ik voel dat ik er zal komen :)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#9

stefkuh

    stefkuh


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 07 november 2006 - 12:15

leuke vraag maar een ding snap ik niet

Uit p(n) = 0,49p(n+1) + 0,51p(n-1) en p(0) = 0 volgt:  
p(n) = a((51/49)n - 1).

hoe doe je dit??

#10

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 07 november 2006 - 12:28

leuke vraag maar een ding snap ik niet


Uit p(n) = 0,49p(n+1) + 0,51p(n-1) en p(0) = 0 volgt:  
p(n) = a((51/49)n - 1).

hoe doe je dit??

Het is wel in te zien dat p(n)=1 een oplossing is. (We kijken even niet naar de beginvoorwaarde p(0)=0).
Probeer een oplossing van de vorm p(n)=rn.
Dan is rn = 0,49rn+1 + 0,51rn-1.
Delen door rn-1 geeft
r = 0,49r2+ 0,51.
Dat is een vierkantsvergelijking met nulpunten r = 1 en r = 51/49.
Dus p(n)=(51/49)n is ook een oplossing.
Omdat de vergelijking lineair is, is ook elke combinatie
a.1 + b.(51/49)n een oplossing van de vergelijking.
Uit p(0)=0 volgt dat dan b = - a.
Dus p(n) = b((51/49)n-1).





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures