Jantje en Mieke gooien telkens een muntstuk op. Mieke heeft met haar scherpe tandjes dit muntstuk stiekem verbogen, zodat de kans op kop 51% is en de kans op munt 49% is. Zij spelen het volgende spelletje: bij kop moet Jantje aan Mieke 1 euro betalen bij munt moet Mieke aan Jantje 1 euro betalen.Jantje begint met 25 euro, Mieke met 10 euro.Ze spelen tot iemand van de twee geen geld meer heeft.
Hoe groot is de kans dat Jantje wint?
Laatste berichten
-
22:36
Herleiden afmetingen vanaf een foto 9
-
18:53
Ik wil studeren via afstandsonderwijs, kennen jullie Tech?
-
18:09
Rotatie van het heelal 32
-
17:19
Ervaringen met "herontdekkingen" 12
-
18 apr
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
18 apr
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
-
18 apr
Casus uit de praktijk: positief test THC 18
-
17 apr
speciale rel. theorie 4
-
17 apr
Vreemde stank in huis 11
-
17 apr
3 vragen over mijn rooskleurige r.berekening H2netGekoppeldeHBrflowbatterij.
-
17 apr
Interpretatie reactie-energie 3
-
17 apr
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
16 apr
vB 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Oneerlijk
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Re: Oneerlijk
Als p(n) de kans is dat Jantje uiteindelijk wint als hij nu n Euro heeft.
Dan is p(n) = 0,49p(n+1) + 0,51p(n-1).
De randvoorwaarden zijn p(0) = 0 en p(35) = 1.
Gevraagd is p(25).
Uit p(n) = 0,49p(n+1) + 0,51p(n-1) en p(0) = 0 volgt:
p(n) = a((51/49)n - 1).
n = 35 invullen geeft a = 0,3272... .
Dus p(25) = 56,24%.
Dan is p(n) = 0,49p(n+1) + 0,51p(n-1).
De randvoorwaarden zijn p(0) = 0 en p(35) = 1.
Gevraagd is p(25).
Uit p(n) = 0,49p(n+1) + 0,51p(n-1) en p(0) = 0 volgt:
p(n) = a((51/49)n - 1).
n = 35 invullen geeft a = 0,3272... .
Dus p(25) = 56,24%.
-
- Berichten: 3.330
Re: Oneerlijk
Het kan juist zijn, maar ik begrijp je tweede lijn niet.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 7.068
Re: Oneerlijk
Dat is het ook (na de correctie die PeterPan heeft gedaan voor ik hem kon verbeteren [rr] ).Het kan juist zijn
maar ik begrijp je tweede lijn niet.
\( p(n) = 0.49 p(n+1) + 0.51 p(n-1)\)
In woorden: De kans dat je uiteindelijk wint als je n euro hebt is gelijk aan de kans dat je de volgende tos wint maal de kans dat je uiteindelijk wint als je n+1 euro hebt plus de kans dat je de volgende tos verliest maal dat je uiteindelijk wint als je n-1 euro hebt.-
- Berichten: 3.330
Re: Oneerlijk
Ik heb er lopen over nadenken, maar ik begrijp het niet. Het zal wel aan mij liggen, te weinig grijze stof. 
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 7.068
Re: Oneerlijk
Misschien helpt dit:Ik heb er lopen over nadenken, maar ik begrijp het niet.
Er zijn twee spellen. Bij het eerste spel tos je drie keer en win je als je 3 keer munt gooit. De kans op winst is dus \(\frac{1}{8}\). Bij het tweede spel tos je 5 keer en win je als je 5 keer munt gooit. De kans op winst bij dit spel is dus \(\frac{1}{32}\).
Nu komt spellenguru Henkie en hij zegt een nieuw spel bedacht te hebben. Dit spel is een combinatie van de twee eerdere spellen. Je tost een muntstuk en als het munt is dan speel je spel 1 en als het kop is dan speel je spel 2. De vraag is nu wat de winstkans is voor dit nieuwe spel.
Als je in dit nieuwe spel met je eerste worp munt gooit, dan ga je spel 1 spelen. Je weet dat de kans dat je dus spel 1 gaat spelen gelijk is aan \(\frac{1}{2}\). De kans dat je spel 1 gaat spelen en daarna wint is dan dus:
\(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{16}\)
Een zelfde verhaal is te houden voor de eerste keer kop gooien. De kans om de eerste keer kop te gooien en dan spel 2 te winnen is:\(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{64}\)
Het nieuwe spel win je als je munt gooit en daarna spel 1 wint en als je kop gooit en daarna spel 2 wint. De kans op winst is dus:\(\frac{1}{16} + \frac{1}{64} = \frac{5}{64}\)
Nu gaan we de stap maken naar de oorspronkelijke situatie. Er bestaan 2 spellen: het spel waarbij je met n-1 euro begint en het spel waarbij je met n+1 euro begint. De kansen op winst bij deze spellen schrijven we respectievelijk als p(n-1) en p(n+1). Er wordt nu een nieuw spel bedacht: het spel waarbij je met n euro begint en er wordt nu gevraagd wat je winstkans is.Als je de eerste keer een euro in moet leveren dan heb je dan nog maar n-1 euro. Je bent vanaf dat moment dus eigenlijk het n-1 spel aan het spelen. Hiervan weet je de kans. De kans dat je dus een euro verliest en daarna het n-1 spel wint is:
\(0.51 \cdot p(n-1)\)
Als je de eerste keer een euro wint dan heb je n+1 euro. Je bent dan dus beland in het n+1 spel. De kans dat je de eerste tos wint en daarna het n+1 spel wint is:\(0.49 \cdot p(n+1)\)
De kans dat je het n euro spel wint is de som van deze twee kansen:\(p(n) = 0.49 \cdot p(n+1) + 0.51 \cdot p(n-1)\)
Re: Oneerlijk
p(n) is de kans is dat Jantje uiteindelijk wint als hij nu n Euro heeft.
Wat je wilt berekenen is p(25), dat is de kans dat Jantje uiteindelijk wint als hij nu 25 Euro heeft.
Dat is het geval als het spelletje start.
Stel hij heeft 25 Euro.
De munt wordt opgegooid. Resultaat (zeg) munt.
Dan heeft Jantje nog maar 24 Euro.
Het is dan nog lang niet verloren voor Jantje. Wat is op dat moment de kans dat Jantje uiteindelijk zal winnen? p(24)!
En als de uitkomst kop was geweest i.p.v. munt, dan had Jantje 26 Euro gehad.
De kans dat hij in die situatie zal winnen is groter geworden, want hij heeft al een munt gewonnen. Die kans ken ik, die is n.l. p(26).
Dus nog eens voor de duidelijkheid:
Met kans 0,51 gooit Jantje munt en wint dan uiteindelijk met kans p(24)
en met kans 0,49 gooit Jantje kop en wint dan uiteindelijk met kans p(26).
Kortom p(25) = 0,51p(24) + 0,49p(26).
Wat je wilt berekenen is p(25), dat is de kans dat Jantje uiteindelijk wint als hij nu 25 Euro heeft.
Dat is het geval als het spelletje start.
Stel hij heeft 25 Euro.
De munt wordt opgegooid. Resultaat (zeg) munt.
Dan heeft Jantje nog maar 24 Euro.
Het is dan nog lang niet verloren voor Jantje. Wat is op dat moment de kans dat Jantje uiteindelijk zal winnen? p(24)!
En als de uitkomst kop was geweest i.p.v. munt, dan had Jantje 26 Euro gehad.
De kans dat hij in die situatie zal winnen is groter geworden, want hij heeft al een munt gewonnen. Die kans ken ik, die is n.l. p(26).
Dus nog eens voor de duidelijkheid:
Met kans 0,51 gooit Jantje munt en wint dan uiteindelijk met kans p(24)
en met kans 0,49 gooit Jantje kop en wint dan uiteindelijk met kans p(26).
Kortom p(25) = 0,51p(24) + 0,49p(26).
-
- Berichten: 3.330
Re: Oneerlijk
Bedankt voor de vlugge reacties. Ik heb de twee reacties maar vluchtig kunnen lezen maar ik voel dat ik er zal komen
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?
-
- Berichten: 6
Re: Oneerlijk
leuke vraag maar een ding snap ik niet
hoe doe je dit??PeterPan schreef:Uit p(n) = 0,49p(n+1) + 0,51p(n-1) en p(0) = 0 volgt:
p(n) = a((51/49)n - 1).
Re: Oneerlijk
Het is wel in te zien dat p(n)=1 een oplossing is. (We kijken even niet naar de beginvoorwaarde p(0)=0).stefkuh schreef:leuke vraag maar een ding snap ik niet
hoe doe je dit??PeterPan schreef:
Uit p(n) = 0,49p(n+1) + 0,51p(n-1) en p(0) = 0 volgt:
p(n) = a((51/49)n - 1).
Probeer een oplossing van de vorm p(n)=rn.
Dan is rn = 0,49rn+1 + 0,51rn-1.
Delen door rn-1 geeft
r = 0,49r2+ 0,51.
Dat is een vierkantsvergelijking met nulpunten r = 1 en r = 51/49.
Dus p(n)=(51/49)n is ook een oplossing.
Omdat de vergelijking lineair is, is ook elke combinatie
a.1 + b.(51/49)n een oplossing van de vergelijking.
Uit p(0)=0 volgt dat dan b = - a.
Dus p(n) = b((51/49)n-1).
