Springen naar inhoud

differentieerbaarheid en inverteerbaarheid.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

iris

    iris


  • >100 berichten
  • 156 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 november 2006 - 10:26

De volgende opdracht kom ik niet uit:

Geef een zo groot mogelijk domein waarop het functievoorschrift:
f(x) = tan(arctan(x)/7) een functie definieerd.
Op welk deel van dit domein is de functie differentieerbaar en wat is daar de afgeleide functie?

Wat ik bijvoorbeeld niet snap is, wat bedoelen ze met 'een functie definieerd', wat wordt er hier gevraagd? En wanneer is een functie differentieerbaar? (als hij continu is?, maar hoe kom je erachter wanneer deze functie continu is?)

Zo zijn er nog meer opgave die ik dus niet begrijp zoals:
Geef een zo groot mogelijke niet-lege verzameling U als deelverzameling van de reŽle getallen, waarop sin(x)cos(x) inverteerbaar is.
Hoe bepaal je wanneer een functie inverteerbaar is?
huh?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 05 november 2006 - 11:32

De volgende opdracht kom ik niet uit:

Geef een zo groot mogelijk domein waarop het functievoorschrift:
f(x) = tan(arctan(x)/7) een functie definieerd.
Op welk deel van dit domein is de functie differentieerbaar en wat is daar de afgeleide functie?

Wat ik bijvoorbeeld niet snap is, wat bedoelen ze met 'een functie definieerd', wat wordt er hier gevraagd? En wanneer is een functie differentieerbaar? (als hij continu is?, maar hoe kom je erachter wanneer deze functie continu is?)

Zo zijn er nog meer opgave die ik dus niet begrijp zoals:
Geef een zo groot mogelijke niet-lege verzameling U als deelverzameling van de reŽle getallen, waarop sin(x)cos(x) inverteerbaar is.  
Hoe bepaal je wanneer een functie inverteerbaar is?

Een functie is inverteerbaar als de functie op zijn domein eenduidig is, ook wel 1-1-afbeelding genoemd.
Vb: zo is de lineaire functie inverteerbaar.
Vb: e^x is inverteerbaar.
Vb: de sin, cos en tan zijn periodiek en dus niet-inverteerbaar
Willen we nu toch een inverse functie definiŽren, dan beperken we het domein. Neem bv de tan, als we als domein <-Pi/2,Pi/2> kiezen is de tan inverteerbaar en zo definiŽren we als inverse arctan (het bereik van arctan is dan natuurlijk <-Pi/2,Pi/2>).
Ga zelf na wat er gebeurt bij het definiŽren van sin en cos!

#3

iris

    iris


  • >100 berichten
  • 156 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 november 2006 - 13:39

ok dus als ik het goed begrijp kan je dus zeggen dat sin(x)*cos(x) inverteerbaar is op het domein 0 tot pi?

Maar wat betekend nu die eerste vraag? wanneer een functie differentieerbaar is en wanneer een functie gedefinieerd is?
huh?

#4

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 november 2006 - 16:49

ok dus als ik het goed begrijp kan je dus zeggen dat sin(x)*cos(x) inverteerbaar is op het domein 0 tot pi?

Nee, dat is niet zo. Zie het zo: een functie f(x) is inverteerbaar als jij mij met 100% zekerheid kan vertellen welke x ik had als ik je de waarde van f(x) vertel voor die x (ofwel er is maar 1 x bij elke waarde die f(x) kan aannemen).

Voor LaTeX is dat niet zo. Als ik bijvoorbeeld zeg dat de waarde van f(x) gelijk is aan 0 dan weet jij niet welke x ik had (0, LaTeX , LaTeX , enz.).

Maar wat betekend nu die eerste vraag? wanneer een functie differentieerbaar is en wanneer een functie gedefinieerd is?

Een functie is gedefinieerd voor een bepaalde x als hij een uitkomst in het bereik geeft voor die waarde van x. Een functie is differentieerbaar als de volgende limiet bestaat:
LaTeX

#5

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 november 2006 - 23:18

Een functie is slechts dan inverteerbaar als deze bijectief (zowel injectief als surjectief) is.
Een functie is gedefinieerd op zijn domein (beetje flauw natuurlijk, maar voor het bepalen van het domein zijn er niet echt regels, dat zie je vaak heel snel). Voor alle LaTeX bestaat er een functiewaarde.
Een functie is inderdaad differentieerbaar als de limiet die EvilBro geeft bestaat, maar in jouw voorbeeld lukt dat niet zo makkelijk. Volgens mij is het het makkelijkst om eerst de afgeleide te bepalen met behulp van de ketting- en productregel:
LaTeX .

Je ziet nu een breuk, deze is niet gedefinieerd voor x-waarden die een noemer gelijk aan nul opleveren. LaTeX levert nul op voor y-waarden LaTeX enz. Je ziet al gauw dat dat hier nooit lukt, dus is zowel de functie als zijn afgeleide gedefinieerd op de hele R.

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 november 2006 - 00:04

ok dus als ik het goed begrijp kan je dus zeggen dat sin(x)*cos(x) inverteerbaar is op het domein 0 tot pi?

Maar wat betekend nu die eerste vraag? wanneer een functie differentieerbaar is en wanneer een functie gedefinieerd is?

Is er iets niet duidelijk in mijn post?
Waarom denk je dat sin(x)*cos(x) inverteerbaar is op <0,Pi>?
sin(x)*cos(x)=1/2sin(2x)
Teken de grafiek en kijk naar eenduidigheid, dus bij elke x uit het domein hoort precies ťťn x uit het bereik!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures