Springen naar inhoud

[Wiskunde] Ellips


  • Log in om te kunnen reageren

#1

stonewalker

    stonewalker


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 november 2006 - 18:30

Bepaal op de ellips (x≤/a≤)+(y≤/b≤)=1 4 punten die de hoekpunten zijn van een rechthoek (is een rechthoek binnen de ellips) waarvan de zijden evenwijdig zijn met de assen van de ellips en waarvan de oopervlakte de helft is van de oppervlakte van de assenrechthoek (assenrechthoek is de omsluitende rechthoek rond de ellips dus erbuiten) van de ellips.

Liest zo snel mogenlijk te antwoorden!

Alvast vriendelijke groetjes Stone.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 november 2006 - 19:30

De oppervlakte van de omhullende is (2a)(2b) = 4ab. Je zoekt nieuwe coŲrdinaten x en y die de recthoek met opp 4xy opspannen, zodat 4ab = 8xy oftewel ab = 2xy. Samen met x≤/a≤+y≤/b≤ = 1 levert dit een stelsel waarmee je x en y kan uitdrukken in functie van a en b.

Of: je weet dat het geheel symmetrisch zal zijn en je zoekt dus de factor k die x = ka en y = kb bepaalt zodat: ab = 2xy <=> ab = 2(ka)(kb) <=> ab = 2k≤ab. Daaruit is 2k≤ = 1 <=> k≤ = 1/2 dus (neem de factor positief als afstand, de coŲrdinaten zijn natuurlijk symmetrisch) k = √2/2.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

stonewalker

    stonewalker


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 november 2006 - 20:15

Dus als ik het goed vat is k sqrt(2)/2 van de hoogte op de y-as en met die y-waarde vind ik dan de x-waarden.
Klopt het wat ik zeg?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 november 2006 - 20:17

Dat is de schaalfactor voor a en b, begrijp je?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

stonewalker

    stonewalker


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 november 2006 - 20:45

Ah dus is geen rechthoek maar een vierkant. Hartelijk dank.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 november 2006 - 20:47

Jawel hoor, want a en b kunnen verschillen! Als ze gelijk zijn, is het een cirkel; maar ingeval van een ellips heb je een rechthoek.
Stel a = 3 en b = 2, dan is E: x≤/9+y≤/4 = 1. De oppervlakte van de omhullende rechthoek is dan 4*3*2 = 24.

Zoals ik toonde liggen de hoekpunten van de gezochte rechthoek op √2/2a en √2/2b (en hun tegengestelden), dus in dit geval heeft die rechthoek zijden √2/2*3*2 en √2/2*2*2 dus is de oppervlakte √2/2*3*2*√2/2*2*2 = 12, inderdaad de helft van 24.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

stonewalker

    stonewalker


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 november 2006 - 20:59

Wow, jij bent echt super! hartelijk dank en dit forum is echt zeer goed een dikke proficiat.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 november 2006 - 21:01

Graag gedaan hoor, je begrijpt het nu ook hoop ik?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

stonewalker

    stonewalker


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 08 november 2006 - 21:52

Helemaal, echt hartelijk dank!

Hij mag nu wel afgesloten worden.

Nog es merci hť.

#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 08 november 2006 - 22:55

De oppervlakte van de omhullende is (2a)(2b) = 4ab. Je zoekt nieuwe coŲrdinaten x en y die de recthoek met opp 4xy opspannen, zodat 4ab = 8xy oftewel ab = 2xy. Samen met x≤/a≤+y≤/b≤ = 1 levert dit een stelsel waarmee je x en y kan uitdrukken in functie van a en b.

Of: je weet dat het geheel symmetrisch zal zijn en je zoekt dus de factor k die x = ka en y = kb bepaalt zodat: ab = 2xy <=> ab = 2(ka)(kb) <=> ab = 2k≤ab. Daaruit is 2k≤ = 1 <=> k≤ = 1/2 dus (neem de factor positief als afstand, de coŲrdinaten zijn natuurlijk symmetrisch) k = √2/2.

Je moet toch even uitleggen waarom de tweede methode werkt, want als bv de opp 1/4 van de omhullende moet zijn, werkt de methode niet.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 november 2006 - 22:59

Voel je vrij om iets te verduidelijken, als dat voor stonewalker (of voor anderen) nog nuttig kan zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

oktagon

    oktagon


  • >1k berichten
  • 4502 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 09 november 2006 - 02:33

Aangezien de cirkel de basis is van een ellips (een uitgerekte cirkel) is de vraag van de inwendige rechthoek ook volgens de schets op te lossen:

Geplaatste afbeelding :wink:

Een ellips kun je beschouwen als een schuine doorsnede van een cilinder,de wetenschap in de oudheid heeft aan die doorsnede de naam ellips gegeven;je kunt de ellips dus beschouwen als een gekantelde cirkel om zijn as en die as wordt dee korte as van de ellips en in de draaibeweging in de richting van de langste as blijven alle afstandsverhoudingen van zijn omtreklijn tot de draaias gelijk als van de cirkel,dus ook de berekende maat van bLaTeX

Evt. kunje eenvoudig bewijzen dat het ingesloten vierkant met zijn 4 hoekpunten op de cirkelomtrek ligt;een vierkantszijde is een onderdeel van een rechthoekige en gelijkbenige driehoek met rechte zijden van a=b en de schuine zijde=vierkantszijde is bLaTeX .

#13

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 09 november 2006 - 10:50

De oppervlakte van de omhullende is (2a)(2b) = 4ab. Je zoekt nieuwe coŲrdinaten x en y die de recthoek met opp 4xy opspannen, zodat 4ab = 8xy oftewel ab = 2xy. Samen met x≤/a≤+y≤/b≤ = 1 levert dit een stelsel waarmee je x en y kan uitdrukken in functie van a en b.

Of: je weet dat het geheel symmetrisch zal zijn en je zoekt dus de factor k die x = ka en y = kb bepaalt zodat: ab = 2xy <=> ab = 2(ka)(kb) <=> ab = 2k≤ab. Daaruit is 2k≤ = 1 <=> k≤ = 1/2 dus (neem de factor positief als afstand, de coŲrdinaten zijn natuurlijk symmetrisch) k = √2/2.

Je moet toch even uitleggen waarom de tweede methode werkt, want als bv de opp 1/4 van de omhullende moet zijn, werkt de methode niet.

De vraag had kunnen luiden: Bepaal de max opp van een ingeschreven rechthoek.
Stel de opp van een ingeschreven rhk is 8kab, dus 8kab=8xy (1)en (x/a)≤+(y/b)≤=1. (2)
Uit (1) volgt: LaTeX
Het is nu verstandig x/a=p te stellen en dit ingevuld in (2) levert:
LaTeX
De breuk wegwerken geeft:
LaTeX
Dit is natuurlijk een kwadr verg in p≤ en nu stellen we de eis dat de discr 0 is.
Dus 1-4k≤=0 geeft k=1/2, maw de max opp van de ingesch rhk is 2ab.
Het is verder niet moeilijk p≤ te vinden uit: (p≤-1/2)≤=0 <=> p≤=1/2 <=>p=:) 1/2[wortel]2. M.a.g x=:) 1/2a :) 2, enz.
Ik hoop dat duidelijk is dat de tweede methode (zie m'n opmerking boven) hier 'bij toeval' (?) werkt!!!

Opm: De opp van de ellips is Pi.ab en de max opp van de ingeschr rhk is 2ab.
Opm: De grafische manier van oktagon (heel mooi!) is ook gebaseerd op de max(!) opp.

#14

oktagon

    oktagon


  • >1k berichten
  • 4502 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 09 november 2006 - 17:48

Op bijgaande schets zie je het verband tussen raaklijnen aan een ellips en aan een cirkel en hoe je die eenvoudig kunt berekenen;je ziet ook de verdubbeling van verschillende maten bij a=2r :

Geplaatste afbeelding

Ik veronderstel ook nog dat een parabool weer een halve ellips is en een hyperbool (en) weer twee halve ellipsen met de neuzen naar elkaar toe,maar ik moet de formules nog bekijken!

#15

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 09 november 2006 - 19:36

Ik veronderstel ook nog dat een parabool weer een halve ellips is en een hyperbool (en)  weer twee halve ellipsen met de neuzen naar elkaar toe,maar ik moet de formules nog bekijken!

Nee, hoor het zijn drie verschillende 'kegelsneden'.

Stel je een kegelopp voor (2 puntmutsen met de punten tegen elkaar) in de Euclidische ruimte. Het kegelopp is te zien als een bundel lijnen door hetzelfde punt, de top van de kegel, die dezelfde vaste hoek alfa.gif maken met een bepaalde lijn, nl de as van de kegel.
De lijnenen waaruit de bundel bestaat noemt men de 'beschrijvenden' van de kegel.
Als we een willekeurig vlak snijden met de kegel, krijgen we een ellips als voor de hoek fi.gif, die het vlak met de as maakt, geldt fi.gif > alfa.gif. Staat het vlak loodrecht de as dan krijgen we een cirkel.
We krijgen een parabool als fi.gif =alfa.gif en een hyperbool als fi.gif <alfa.gif.
Er zijn ook enkele 'ontaardingen' mogelijk:
We krijgen een punt als het vlak alleen door de top gaat (ga de voorwaarde na ).
Een lijn als het vlak het kegelopp raakt, de lijn is de raaklijn.
Twee snijdende lijnen (beschrijvenden) als het vlak het kegelopp in de top snijdt.

Nu iets aardigs:
Elke kegelsnede (inclusief ontaardingen) is in het xy-vlak algebraÔsch voor te stellen door de volgende verg:
Ax≤+2Bxy+Cy≤+2Dx+2Ey+F=0.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures